No seguinte video falamos de duas demonstrações de que limite uniforme de funções integráveis é integrável. Logo em seguida definimos norma sup e demonstramos que o espaço de funções limitadas com essa norma é um espaço normado completo.
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Em outro video video falamos de Teste M de Weierstrass e analisamos como limite de uma sequência de funções diferenciáveis pode ou não ser diferenciável.
Um objetivo principal é entender quando derivada e limite se comutam!? $$ (\lim f_n)^{'} = \lim f_n^{'}? $$
O exemplo $f_n(x) = \sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}$ mostra que o limite uniforme de uma sequência de funções diferenciáveis pode nem ser diferenciável. O limite é $|x|.$
O exemplo $f_n(x) = \frac{sen(nx)}{\sqrt{n}}$ converge uniformemente a zero porém as derivadas nem convergem.
o Exemplo “bobo” $f_n(x) = (-1)^n$ mostra que a sequência podem nem convergir enquanto as derivadas convergem uniformemente.
Lema 1 : Se $f_n^{'}$ converge uniformemente em $[a, b]$ e $f_n$ converge em algum ponto $x_0 \in [a, b]$ então $f_n$ converge uniformemente em $[a, b].$
Demonstração: Basta usar teorema de valor médio: De fato vamos mostrar que $f_n$ é uniformemente de Cauchy. Lembramos que já sabemos que $f_n^{'}$ é uniformemente de Cauchy.
Pela desigualdade triangular e valor médio temos: $$ |f_n(x) - f_m(x)| \leq |(f_n-f_m) (x) - (f_n-f_m)(x_0)| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)| = |(f_n^{'}-f_m^{'})(\xi)| |x-x_0| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)|. $$ que pode ser menor do que $\epsilon$ para $n, m$ grande, já que $(f_n-f_m)^{'}$ converge uniformemente a zero. Terminamos a concluir que $f_n$ é uniformemente cauchy e portanto uniformemente convergente.
Lema 2: Se $f_n$ converge a $f$ e $f_n^{'}$ converge uniformemente então para todo $x_0 \in [a, b]$ temos que a convergência abaixo é uniforme: $$ \frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0} \rightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. $$
Para demonstrar este lema, usamos que $(f_n^{'})$ é uniformemente Cauchy. Usando estes dois lemas podemos provar que
Teorema: Seja $f_n$ convergindo em algum ponto de $[a, b]$ e $f_n^{'}$ convergindo uniformemente a $g$, então $f_n$ converge uniformemente a $f$ e $f^{'}=g$.
Demonstração: (argumento $3\epsilon$!) $$ |\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - g(x_0)| \leq |\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}- \frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}| + |\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0} - f_n^{'}(x_0)| + |f_n^{'}(x_0) - g(x_0)|. $$ Primeiramente escolha $n$ grande que o primeiro e terceiro termo sejam menor do que $\frac{\epsilon}{3}$ e depois escolhe $\delta$ tal que $|x-x_0| \leq \delta$ tenhamos $|\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0} - f_n^{'}(x_0)| \leq \epsilon/3.$
Exercício: Existe uma sequência $f_n$ de funções diferenciáveis convergindo uniformemente a $f$ também diferenciável e que $f_n^{'}$ converge pontualmente a $g$, porém $g \neq f^{'}?$
Definição: Uma série $\sum f_k$ é absolutamente convergente se $\sum |f_k|$ é convergente.
Teste $M-$de Weierstrass: Seja $M_k > 0$ e $\sum M_k < \infty$ e suponhamos que $f_k : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $ |f_k| \leq M_k$, então a série $\sum f_k$ é uniformemente e absolutamente convergente.
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