1. Seja $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}.$ Prove ou dê contraexemple para seguintes afirmações:
- $f \in \mathcal{R}$ então $|f| \in \mathcal{R}$
- $|f| \in \mathcal{R}$ então $f \in \mathcal{R}$
- $f \in \mathcal{R}$ e $|f(x)| \geq c > 0$ então $\frac{1}{f} \in \mathcal{R}$
- $f \in \mathcal{R}$ então $f \circ f \in \mathcal{R}$
- $f^2 \in \mathcal{R}$ então $f \in \mathcal{R}$
- $f \in \mathcal{R}$ então $f^2=f \times f \in \mathcal{R}$
2. Provamos que se $f \in \mathcal{R}$ e $\phi$ contínua, então $\phi \circ f \in \mathcal{R}.$ Mostre que contínua não pode ser substituída por contínua por pedaços, i.e dê exemplo de $f \in \mathcal{R}$ e $\phi$ contínua por pedaços tal que $\phi \circ f$ não seja integrável.
3. Seja $F \subset [0, 1]$ o conjunto de Cantor “gordo” contruído na aula (i.e retiramos na $n$ésima etapa $2^n$ intervalos de tamanho $\frac{1}{4^n}$). Definimos $$ \phi (x) = \int_{0}^{x} dist(t, F) dt, $$ onde a $dist$ representa mínima distância até $F$.
- Mostre que $\phi$ é um homeomorfismo diferenciável entre $[0, 1]$ e $[0, \phi(1)].$
- Ache os pontos críticos de $\phi$.
- $\phi(F)$ é um conjunto de cantor de medida nula.
- Seja $f$ função característica de $\phi(F). $ Então $f$ é integrável, porém $f \circ \phi$ não é integrável.
4. (Sard Unidimensional) Seja $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ diferenciável com derivada contínua. $x \in [a, b]$ é um ponto crítico de $f$ se $f^{'}(x)=0.$ Um valor crítico é $y$ tal que exista $x$ crítico e $y=f(x).$ Prove que o conjunto de valores críticos de $f$ tem medida nula.