Arzela-Ascoli: Toda sequência $f_n \in C^{0}([a, b])$ equicontínua de funções limitadas (uniforme) tem uma subsequência convergente uniformemente.

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Vamos formular o teorema de Arzela Ascoli de uma forma mais topológica. Definição: Dado $E \subset C^{0}([a, b], \mathbb{R})$ dizemos que $E$ é equicontínua se para qualquer $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $f \in E$ $$ |s-t| < \delta \Rightarrow |f(s)-f(t)| < \epsilon. $$

Versão toplógica de Arzela-Ascoli: Seja $E \subset C^{0}([a, b], \mathbb{R})$. Então $E$ é compacto (com respeito de topologia $C^0$) se somente se $E$ é limitado, fechado e equicontínua.

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