Após provar o teorema de Abel nesta aula podemos concluir que $$ log(2) = \sum_{n\geq 1} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}. $$ De fato:
Teorema de Abel (1826): Seja $f(x) = \sum_{n \geq 1} c_n x^n$ série de potências que converge para $|x| < 1$. Se $\sum_{n \geq 1} c_n < \infty$ então $\lim_{x \rightarrow 1^{-1}} f(x) = \sum_{n \geq 1} c_n.$
Outro exemplo $$\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^{n-1} (2n)!}{2^{2n} n!^2 (2n-1)} = \sqrt{2}.$$
Outro (non-)exemplo: considere $g(x)= \frac{1}{1+x^2}$ e para $|x| < 1$ temos $g(x) = \sum_{n \geq 0} (-1)^n x^{2n}.$ Entretanto a série de potência não converge em $x=1.$
Demonstração
Seja $s_n = \sum_{k=0}^{n} c_k$ e portanto note que $c_n = s_n - s_{n-1}.$ Então: $$ \sum_{n=0}^{N} c_n x^n = c_0 + \sum_{n=1}^{N} x^n (s_n - s_{n-1})= $$ $$ = c_0 + x^N s_{N} - xc_0 - \sum_{n=1}^{N-1} s_n (x^n - x^{n+1}) $$ $$ = (1-x)c_0 + x^N s_N + \sum_{n=1}^{N-1} s_n (1-x)x^n $$ $$ = x^N s_N + (1-x)\sum_{n=0}^{N-1} s_n x^n. $$ Agora observe que $c_N x^N \rightarrow 0$ para $|x| < 1$ fixo e $N$ indo ao infinito. Portanto
$$ \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n = (1-x) \sum_{n=0}^{\infty} s_n x^n $$
Agora vamos estimat $\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n - s = (1-x) \sum_{n=0}^{\infty} (s_n - s) x^n.$ Aqui usamos $(1-x) \sum_{n=0}^{\infty} x^n =1.$
Portanto, nosso objetivo é mostrar que $(1-x) \sum_{n=0}^{\infty} (s_n - s) x^n \rightarrow 0$ quando $x \rightarrow 1^{-}.$ Lembrando que pela hipótese temos $\lim s_n = s.$ Vamos quebrar a soma (que vamos mostrar convergência a zero) em duas partes. Primeiro observe que para $n \geq M$ temos $|s_n - s| \leq \epsilon.$ Portanto
$$ (1-x) \sum_{n=0}^{\infty} (s_n - s) x^n = (1-x) \sum_{n=0}^{M-1} (s_n - s) x^n + (1-x) \sum_{n=M}^{\infty} (s_n - s) x^n $$ $$ \leq |1-x| \sum_{n=0}^{M-1} |(s_n - s)| |x|^n + |1-x| \sum_{n \geq M} \epsilon |x|^n $$ $$ = |1-x|\sum_{n=0}^{M-1} |(s_n - s)| |x|^n + |1-x| \epsilon \frac{|x|^M}{1- |x|} $$ $$ < |1-x| \sum_{n=0}^{M-1} |(s_n - s)| |x|^n + \epsilon. $$ Agora vamos mandar $x$ tender ao valor $1$ e portanto (já que $M$ é fixo neste momento) concluímos o resultado.
observe que o teorema vale em geral: Se $\sum_{n \geq 0} c_n x^n$ converge para $|x| < r$ e a série em $r$ ou $-r$ convergir, então o limite dos valores da série converge para valor da série no extremo. Por exemplo se $\sum_{n \geq 0} c_n (-r)^n$ convergir então $$ \lim_{x \rightarrow -r^{+}} \sum_{n \geq 0} c_n x^n = \sum_{n \geq 0} c_n (-r)^n. $$ Agora usando função $g(x) = \sqrt{1+x}$ conluir que $$ 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{(2n)!}{2^{2n} n!^2 (2n-1)}. $$