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analise2:prova1

Prova de Análise II, ICMC-USP (05/2022)

  1. Sejam fn:RR uma sequência de funções uniformemente contínuas e fn convergir uniformemente a f. É correto afirmar que f também é uniformemente contínua?
  2. Se f:[0,1]R possuir anti-derivada, então f é Riemann integrável? É correto dizer que existe g tal que g=f e portanto pelo teorema fundamental de cálculo g=f, ou seja f é integrável?
  3. Sejam f,g respectivamente as funções características de [1,4] e [2,5]. As derivadas f e g existem exceto um conjunto de medida nula (alías apenas não tem derivada nas fronteiras dos intervalos). Pela integração por partes temos: 30f(x)g(x)dx=f(3)g(3)f(0)g(0)30f(x)g(x)dx as integrais acima são nulas. Enquanto f(3)g(3)f(0)g(0)=1. Encontre o erro.
  4. Sejam fn:[1,)R,fn(x)=x1+xn. É correto afirmar que fn|[1,] converge uniformemente? Podemos aplicar o teorema de Arzela Ascoli para provar que para a>1 fixo, fn|[a,) converge uniformemente?
  5. Use Teste de Weierstrass para mostrar que a série n1xnenx converge uniformemente em x0.

Gabarito:

1. Pela convergência uniforme dado ϵ>0 existe N tal que para todo nN temos ffnϵ/3. Pela continuidade uniforme de fN existe δ>0. tal que se |xy|<δ então |fN(x)fN(y)|ϵ/3. Agora basta usar argumento 3×ϵ3: |f(x)f(y)||f(x)fN(x)|+|fN(x)fN(y)|+|fN(y)f(y)|ϵ.

2. Função Volterra como foi falado na aula é uma função que não tem integral pois tem um conjunto de medida positiva de descontinuidade, porém tem primitiva.

3. O erro está em considerar fg pois f não está definida no intervalo de integração.

4. Podemos veerificar que fn é contínua e f=limfn não é contínua em [1,). Portanto não temos convergência uniforme. Porém para a>1 podemos mostrar convergência desejada no exercício. Porém nõa pelo teorema Arzela-Ascoli que dá uma subsequência convergente.

5. Observe que xnenx=(xex)n e vamos mostrar que existe a<1 tal que para todo x0,xex<a e portanto encontramos uma série geométrica para aplicar teste de Weierstrass. Agora seja g(x)=ln(x)x. Basta mostrar que g(x)1 portanto xex=eg(x)<e1<1.

analise2/prova1.txt · Last modified: 2022/05/26 15:14 by 127.0.0.1