Prova de Análise II, ICMC-USP (05/2022)
- Sejam fn:R→R uma sequência de funções uniformemente contínuas e fn convergir uniformemente a f. É correto afirmar que f também é uniformemente contínua?
- Se f:[0,1]→R possuir anti-derivada, então f é Riemann integrável? É correto dizer que existe g tal que g′=f e portanto pelo teorema fundamental de cálculo g=∫f, ou seja f é integrável?
- Sejam f,g respectivamente as funções características de [1,4] e [2,5]. As derivadas f′ e g′ existem exceto um conjunto de medida nula (alías apenas não tem derivada nas fronteiras dos intervalos). Pela integração por partes temos: ∫30f(x)g′(x)dx=f(3)g(3)−f(0)g(0)−∫30f′(x)g(x)dx as integrais acima são nulas. Enquanto f(3)g(3)−f(0)g(0)=1. Encontre o erro.
- Sejam fn:[1,∞)→R,fn(x)=x1+xn. É correto afirmar que fn|[1,∞] converge uniformemente? Podemos aplicar o teorema de Arzela Ascoli para provar que para a>1 fixo, fn|[a,∞) converge uniformemente?
- Use Teste de Weierstrass para mostrar que a série ∑n≥1xne−nx converge uniformemente em x≥0.
Gabarito:
1. Pela convergência uniforme dado ϵ>0 existe N tal que para todo n≥N temos ‖f−fn‖≤ϵ/3. Pela continuidade uniforme de fN existe δ>0. tal que se |x−y|<δ então |fN(x)−fN(y)|≤ϵ/3. Agora basta usar argumento 3×ϵ3: |f(x)−f(y)|≤|f(x)−fN(x)|+|fN(x)−fN(y)|+|fN(y)−f(y)|≤ϵ.
2. Função Volterra como foi falado na aula é uma função que não tem integral pois tem um conjunto de medida positiva de descontinuidade, porém tem primitiva.
3. O erro está em considerar ∫f′g pois f′ não está definida no intervalo de integração.
4. Podemos veerificar que fn é contínua e f=limfn não é contínua em [1,∞). Portanto não temos convergência uniforme. Porém para a>1 podemos mostrar convergência desejada no exercício. Porém nõa pelo teorema Arzela-Ascoli que dá uma subsequência convergente.
5. Observe que xne−nx=(xex)n e vamos mostrar que existe a<1 tal que para todo x≥0,xex<a e portanto encontramos uma série geométrica para aplicar teste de Weierstrass. Agora seja g(x)=ln(x)−x. Basta mostrar que g(x)≤−1 portanto xe−x=eg(x)<e−1<1.