No seguinte video falamos de duas demonstrações de que limite uniforme de funções integráveis é integrável. Logo em seguida definimos norma sup e demonstramos que o espaço de funções limitadas com essa norma é um espaço normado completo.
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Em outro video video falamos de Teste M de Weierstrass e analisamos como limite de uma sequência de funções diferenciáveis pode ou não ser diferenciável.
Um objetivo principal é entender quando derivada e limite se comutam!? (limfn)′=limf′n?
O exemplo fn(x)=√x2+1n mostra que o limite uniforme de uma sequência de funções diferenciáveis pode nem ser diferenciável. O limite é |x|.
O exemplo fn(x)=sen(nx)√n converge uniformemente a zero porém as derivadas nem convergem.
o Exemplo “bobo” fn(x)=(−1)n mostra que a sequência podem nem convergir enquanto as derivadas convergem uniformemente.
Lema 1 : Se f′n converge uniformemente em [a,b] e fn converge em algum ponto x0∈[a,b] então fn converge uniformemente em [a,b].
Demonstração: Basta usar teorema de valor médio: De fato vamos mostrar que fn é uniformemente de Cauchy. Lembramos que já sabemos que f′n é uniformemente de Cauchy.
Pela desigualdade triangular e valor médio temos: |fn(x)−fm(x)|≤|(fn−fm)(x)−(fn−fm)(x0)|+|fn(x0)−fm(x0)|=|(f′n−f′m)(ξ)||x−x0|+|fn(x0)−fm(x0)|. que pode ser menor do que ϵ para n,m grande, já que (fn−fm)′ converge uniformemente a zero. Terminamos a concluir que fn é uniformemente cauchy e portanto uniformemente convergente.
Lema 2: Se fn converge a f e f′n converge uniformemente então para todo x0∈[a,b] temos que a convergência abaixo é uniforme: fn(x)−fn(x0)x−x0→f(x)−f(x0)x−x0.
Para demonstrar este lema, usamos que (f′n) é uniformemente Cauchy. Usando estes dois lemas podemos provar que
Teorema: Seja fn convergindo em algum ponto de [a,b] e f′n convergindo uniformemente a g, então fn converge uniformemente a f e f′=g.
Demonstração: (argumento 3ϵ!) |f(x)−f(x0)x−x0−g(x0)|≤|f(x)−f(x0)x−x0−fn(x)−fn(x0)x−x0|+|fn(x)−fn(x0)x−x0−f′n(x0)|+|f′n(x0)−g(x0)|. Primeiramente escolha n grande que o primeiro e terceiro termo sejam menor do que ϵ3 e depois escolhe δ tal que |x−x0|≤δ tenhamos |fn(x)−fn(x0)x−x0−f′n(x0)|≤ϵ/3.
Exercício: Existe uma sequência fn de funções diferenciáveis convergindo uniformemente a f também diferenciável e que f′n converge pontualmente a g, porém g≠f′?
Definição: Uma série ∑fk é absolutamente convergente se ∑|fk| é convergente.
Teste M−de Weierstrass: Seja Mk>0 e ∑Mk<∞ e suponhamos que fk:[a,b]→R tal que |fk|≤Mk, então a série ∑fk é uniformemente e absolutamente convergente.
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