Após provar o teorema de Abel nesta aula podemos concluir que log(2)=∑n≥1(−1)n−1xnn. De fato:
Teorema de Abel (1826): Seja f(x)=∑n≥1cnxn série de potências que converge para |x|<1. Se ∑n≥1cn<∞ então limx→1−1f(x)=∑n≥1cn.
Outro exemplo ∑n≥0(−1)n−1(2n)!22nn!2(2n−1)=√2.
Outro (non-)exemplo: considere g(x)=11+x2 e para |x|<1 temos g(x)=∑n≥0(−1)nx2n. Entretanto a série de potência não converge em x=1.
Demonstração
Seja sn=∑nk=0ck e portanto note que cn=sn−sn−1. Então: N∑n=0cnxn=c0+N∑n=1xn(sn−sn−1)= =c0+xNsN−xc0−N−1∑n=1sn(xn−xn+1) =(1−x)c0+xNsN+N−1∑n=1sn(1−x)xn =xNsN+(1−x)N−1∑n=0snxn. Agora observe que cNxN→0 para |x|<1 fixo e N indo ao infinito. Portanto
∞∑n=0cnxn=(1−x)∞∑n=0snxn
Agora vamos estimat ∑∞n=0cnxn−s=(1−x)∑∞n=0(sn−s)xn. Aqui usamos (1−x)∑∞n=0xn=1.
Portanto, nosso objetivo é mostrar que (1−x)∑∞n=0(sn−s)xn→0 quando x→1−. Lembrando que pela hipótese temos limsn=s. Vamos quebrar a soma (que vamos mostrar convergência a zero) em duas partes. Primeiro observe que para n≥M temos |sn−s|≤ϵ. Portanto
(1−x)∞∑n=0(sn−s)xn=(1−x)M−1∑n=0(sn−s)xn+(1−x)∞∑n=M(sn−s)xn ≤|1−x|M−1∑n=0|(sn−s)||x|n+|1−x|∑n≥Mϵ|x|n =|1−x|M−1∑n=0|(sn−s)||x|n+|1−x|ϵ|x|M1−|x| <|1−x|M−1∑n=0|(sn−s)||x|n+ϵ. Agora vamos mandar x tender ao valor 1 e portanto (já que M é fixo neste momento) concluímos o resultado.
observe que o teorema vale em geral: Se ∑n≥0cnxn converge para |x|<r e a série em r ou −r convergir, então o limite dos valores da série converge para valor da série no extremo. Por exemplo se ∑n≥0cn(−r)n convergir então limx→−r+∑n≥0cnxn=∑n≥0cn(−r)n. Agora usando função g(x)=√1+x conluir que 1=∑n≥1(2n)!22nn!2(2n−1).