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analise2:abel

Após provar o teorema de Abel nesta aula podemos concluir que log(2)=n1(1)n1xnn. De fato:

Teorema de Abel (1826): Seja f(x)=n1cnxn série de potências que converge para |x|<1. Se n1cn< então limx11f(x)=n1cn.

Outro exemplo n0(1)n1(2n)!22nn!2(2n1)=2.

Outro (non-)exemplo: considere g(x)=11+x2 e para |x|<1 temos g(x)=n0(1)nx2n. Entretanto a série de potência não converge em x=1.

Demonstração

Seja sn=nk=0ck e portanto note que cn=snsn1. Então: Nn=0cnxn=c0+Nn=1xn(snsn1)= =c0+xNsNxc0N1n=1sn(xnxn+1) =(1x)c0+xNsN+N1n=1sn(1x)xn =xNsN+(1x)N1n=0snxn. Agora observe que cNxN0 para |x|<1 fixo e N indo ao infinito. Portanto

n=0cnxn=(1x)n=0snxn

Agora vamos estimat n=0cnxns=(1x)n=0(sns)xn. Aqui usamos (1x)n=0xn=1.

Portanto, nosso objetivo é mostrar que (1x)n=0(sns)xn0 quando x1. Lembrando que pela hipótese temos limsn=s. Vamos quebrar a soma (que vamos mostrar convergência a zero) em duas partes. Primeiro observe que para nM temos |sns|ϵ. Portanto

(1x)n=0(sns)xn=(1x)M1n=0(sns)xn+(1x)n=M(sns)xn |1x|M1n=0|(sns)||x|n+|1x|nMϵ|x|n =|1x|M1n=0|(sns)||x|n+|1x|ϵ|x|M1|x| <|1x|M1n=0|(sns)||x|n+ϵ. Agora vamos mandar x tender ao valor 1 e portanto (já que M é fixo neste momento) concluímos o resultado.

observe que o teorema vale em geral: Se n0cnxn converge para |x|<r e a série em r ou r convergir, então o limite dos valores da série converge para valor da série no extremo. Por exemplo se n0cn(r)n convergir então limxr+n0cnxn=n0cn(r)n. Agora usando função g(x)=1+x conluir que 1=n1(2n)!22nn!2(2n1).

analise2/abel.txt · Last modified: 2022/12/08 16:45 by 127.0.0.1