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Aproximando valor de uma função usando aproximação linear dela, possui erro! Quantos erramos quando usamos aproximação linear? Existem aproximações de segundo grau? aproximações melhores?

Vamos começar pelas aproximaçõe smais grosseiras: Por exemplo para calcular  $ \sqrt{101}  $ que tal usar apenas a continuidade da função aproximar o valor da função  $ f(x)=\sqrt{x}  $ no ponto  $ 101  $ com seu valor no ponto  $ 100.  $ Assim teremos

$ \sqrt{101} = f(100+1) \sim f(100) = 10.  $

Bem, essa aproximação até pode ser satisfatória dependendo do problema.

Vamos usar a diferenciabilidade da função  $ f  $ e teorema do valor médio (TVM) para achar uma estimativa do erro. Pelo TVM, existe  $ c \in (100, 101)  $ tal que

$ f^{'}(c) = \frac{\sqrt{101} - \sqrt{100}}{101 -100}  $

portanto o erro de aproximação é igual a  $ \frac{1}{2\sqrt{c}}  $. Não sabemos o valor do  $ c  $, porém temos estimativa  $ c > 100  $ e assim concluímos seguinte estimativa sobre erro de aproximação:

<color #ed1c24>Erro de aproximação  $ < \frac{1}{2 \sqrt{100}} = 0,05.$ 
</color>

Agora vamos usar aproximação linear para calcular  $ \sqrt{101}.  $

Lembrando que a prximação linear da função  $ f  $ ao redor do ponto  $ x=a  $ é dada por seguinte  função linear:

$ L(x) = f(a) + (x-a)f^{'}(a).  $

Então,  $ \sqrt{101} \sim f(100)+ (101-100) \frac{1}{2 \sqrt{100}} = 10,05.  $

O valor de  $ \sqrt{101}  $ é aproximadamente  $ 10,05.  $ Como estimar o erro desta aproximação? Será que essa aproximação é melhor do que anterior? SIM.

Antes de responder rigorosamente, vamos olhar os gráficos de duas funções e suas aproximações lineares, supondo que a reta tangente no ponto  $ A  $ coincide. Assim a aproximação linear de  $ f, g  $ é a mesma função linear.

Podemos visualizar que aproximação linear é melhor no caso da  função  $ f  $. Isto tem a ver com a segunda derivada no ponto  $ x=a.  $ Pense!

De fato temos:

Teorema: Seja  $ f: S \rightarrow \mathbb{R}  $ diferenciável (duas vezes) num intervalo com ponto  $ a  $ no seu interior. Então, se  $ a, a+h  $ pertencem a este intervalo, existe  $ c  $ entre  $ a+h, a  $ tal que

$ f(a+h) - (f(a) + f^{'}(a)h) = \frac{1}{2} f^{''}(c)h^2.   $

isto é, o erro de aproximação linear é dada por  $ \frac{1}{2} f^{''}(c)h^2.   $

Usando este teorema o erro de aproximação linear de  $ \sqrt{101} \sim 10,05  $ é igual a  $ \frac{1}{2} \frac{-1}{4 \sqrt{c^3}} (101-100)^2 = \frac{-1}{4\sqrt{c^3}}   $

Novamente sabendo que  $ c > 100  $ concluímos que o valor absoluto do erro é menor do que  $ \frac{1}{4000}  $.

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Para demonstrar o Teorema, vamos provar uma adaptação de Teorema de Rolle para segunda derivada e também uma adaptação do TVM para segunda derivada.

Teorema de Rolle adaptado: Seja  $ f: I \rightarrow \mathbb{R}  $ uma função duas vezes diferenciável e  $ a < b \in I  $ tal que  $ f(a)=f(b)=f^{'}(a)=0.  $ Então existe  $ c \in (a, b)  $ tal que  $ f^{''}(c)=0.  $

Demonstração: apenas aplicando duas vezes teorema de Rolle usual: Primeiramente achamos  $ c_1 \in (a,b)  $ tal que  $ f^{'}(c_1)=0  $ e agora novamente aplicando teorema de Rolle para função  $ f^{'}  $, sendo que  $ f^{'}(a)=f^{'}(c_1)=0  $ concluímos que existe  $ c \in (a, c_1)  $ tal que  $ f^{''}(c)=0.  $

Teorema do valor médio adaptado para segunda derivada:

Seja  $ f: I \rightarrow \mathbb{R}  $ uma função duas vezes diferenciável e  $ a < b \in I  $. Então existe  $ c \in (a, b)  $ tal que

$ f(b) - (f(a)+ f^{'}(a)(b-a)) = \frac{1}{2}f^{''}(c) (b-a)^2.  $

Demonstração, usando Teorema de Rolle adaptado:

Primeiramente afirmamos que existe uma função poliomial de grau 2,  $ \phi  $ tal que

$ f(a)=\phi(a), f(b)=\phi(b)  $ e  $ f^{'}(a)=\phi^{'}(a).  $

Observe que se acharmos tal  $ \phi  $ então se definirmos uma nova função  $ g= f - \phi  $ temos

$ g{a}=g(b)=g^{'}(a)=0.  $

A demosntração da afirmação sobre existência de uma função como  $ \phi  $ é um exercício ao cargo de leitor. Mostrem que existe

$ \phi(x) = A + B(x-a) + C(x-a)^2  $ onde

$ A= f(a), B= f^{'}(a)  $ e  $ C = \frac{f(b)- (f(a) + f^{'}(a) (b-a) )}{(b-a)^2}.  $

Finalmente, aplicando Teorema de Rolle adaptado para  $ g = f - \phi  $ (observe que satisfaz as hipóteses) temos que existe  $ c \in (a, b)  $ tal que  $ g^{''}(c)=0.  $ Assim,

$ g^{''}(c) = f^{''}(c) - 2C=0  $ e portanto

$ f^{''}(c)= 2 \frac{f(b)- (f(a) + f^{'}(a) (b-a) )}{(b-a)^2}   $

que é exatamente o que queríamos provar.

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