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Line 27: Line 27:
 Agora vamos falar sério! Vamos ver porque tanto gostamos das funções contínuas: Agora vamos falar sério! Vamos ver porque tanto gostamos das funções contínuas:
  
-Teorema: Seja $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ contínua, então existe um único número $ I $ tal que para qualquer $ \epsilon > 0 $ existe $ \delta > 0 $ tal que para qualquer partição com mesh menor do que $ \delta $ para qualquer escolha de $ x_i^*$ temos+**Teorema:** Seja $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ contínua, então existe um único número $ I $ tal que para qualquer $ \epsilon > 0 $ existe $ \delta > 0 $ tal que para qualquer partição com mesh menor do que $ \delta $ para qualquer escolha de $ x_i^*$ temos
  
 $ |\sum_{i=1}^{n} (x_i -x_{i-1}) f(x_i^*) - I| \leq \epsilon $ $ |\sum_{i=1}^{n} (x_i -x_{i-1}) f(x_i^*) - I| \leq \epsilon $
Line 33: Line 33:
 e este número $ I $ é denotado por $ \int_{a}^{b} f$ e este número $ I $ é denotado por $ \int_{a}^{b} f$
  
-Exemplo 0: Considere a função constante $ f$ tal que $f(x)=c $ no intervalo $ [a,b]. $ Vamos mostrar que $ \int_{a}^{b} f = c(b-a). $+**Exemplo 0:** Considere a função constante $ f$ tal que $f(x)=c $ no intervalo $ [a,b]. $ Vamos mostrar que $ \int_{a}^{b} f = c(b-a). $
  
 Considerando qualquer partição, a soma de Riemann vai ser o mesmo valor! Por efeito, Considerando qualquer partição, a soma de Riemann vai ser o mesmo valor! Por efeito,
Line 43: Line 43:
 Como mencionamos acima, se $ f$ for uma função contínua, então a integral desta função num intervalo $ [a,b]$ é bem definida e é um número real. Porém, para ter integral, nõa precisamos de continuidade. Ou seja, as vezes temos sorte e as somas de Riemann convergem a um valor fixo que será chamado de integral da função. Porém nem toda função tem integral. Como mencionamos acima, se $ f$ for uma função contínua, então a integral desta função num intervalo $ [a,b]$ é bem definida e é um número real. Porém, para ter integral, nõa precisamos de continuidade. Ou seja, as vezes temos sorte e as somas de Riemann convergem a um valor fixo que será chamado de integral da função. Porém nem toda função tem integral.
  
-Exemplo: (Uma Função contínua por pedaços)+**Exemplo:** (Uma Função contínua por pedaços)
  
 Uma função $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ é contínua por pedaços, se existir Uma função $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ é contínua por pedaços, se existir
Line 90: Line 90:
 Então $ F $ é diferenciável e $ F^{'}=f. $  (veja página notação diferencial) Então $ F $ é diferenciável e $ F^{'}=f. $  (veja página notação diferencial)
  
-<color #ed1c24>Corolário Fundamental:</color>  Seja $ f : I \rightarrow \mathbb{R} $ ($ I  $ é um intervalo.) uma função contínua. Suponhamos $ \phi $ é uma primitiva para $ f $, i.e $ \phi^{'}=f $, então+**Corolário Fundamental:**  Seja $ f : I \rightarrow \mathbb{R} $ ($ I  $ é um intervalo.) uma função contínua. Suponhamos $ \phi $ é uma primitiva para $ f $, i.e $ \phi^{'}=f $, então
  
 $ \int_{a}^{b} f = \phi(b) - \phi(a). $ $ \int_{a}^{b} f = \phi(b) - \phi(a). $
Line 110: Line 110:
 Existe uma versão mais forte do corolário acima (sem assumir a continuidade da função dentro de integral) que é chamado de teorema fundamental de cálculo (versão 2.0): Existe uma versão mais forte do corolário acima (sem assumir a continuidade da função dentro de integral) que é chamado de teorema fundamental de cálculo (versão 2.0):
  
-Seja $ I$ um intervlo e $ F: I \rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável cuja derivada $latex F^{'}$ é integrável no intervalo $ [a, b] \subset I. $ Então:+Seja $ I$ um intervalo e $ F: I \rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável cuja derivada $ F^{'}$ é integrável no intervalo $ [a, b] \subset I. $ Então:
  
 $  \int_{a}^{b} F^{'} = F(b)-F(a).$ $  \int_{a}^{b} F^{'} = F(b)-F(a).$
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