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somasderieman [2023/08/27 10:19] – 201.55.125.65somasderieman [2023/08/28 10:50] (current) – external edit 127.0.0.1
Line 1: Line 1:
 Nas paginas anteriores consideramos alguns exemplos onde conseguimos verificar limites superiores e inferiores para área abaixo do gráfico de algumas funções (positivas).  Vamos detalhar e generalizar um pouco mais essa abordagem e introduzir a notação de integral. Nas paginas anteriores consideramos alguns exemplos onde conseguimos verificar limites superiores e inferiores para área abaixo do gráfico de algumas funções (positivas).  Vamos detalhar e generalizar um pouco mais essa abordagem e introduzir a notação de integral.
  
-<color #ed1c24>**Evolução dos símbolos**</color>+====== Evolução dos símbolos ======
  
 Dada uma função $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $  (em geral nem precisa ser contínua) vamos seguir a ideia de estimar área abaixo do gráfico por soma das áreas de retângulos. Considere uma partição (um mesh, ou discretização em linguagem comptacional) do intervalo $ [a, b] $  por $ n+1 $  pontos $ x_0=a < x_1 < \cdots < x_n=b $ em cada intervalo $ [x_{i-1}, x_i] $ escolhemos um ponto arbitrário $ x_i^{*} \in [x_{i-1}, x_i] $  e consideramos a seguinte soma de Riemann: Dada uma função $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $  (em geral nem precisa ser contínua) vamos seguir a ideia de estimar área abaixo do gráfico por soma das áreas de retângulos. Considere uma partição (um mesh, ou discretização em linguagem comptacional) do intervalo $ [a, b] $  por $ n+1 $  pontos $ x_0=a < x_1 < \cdots < x_n=b $ em cada intervalo $ [x_{i-1}, x_i] $ escolhemos um ponto arbitrário $ x_i^{*} \in [x_{i-1}, x_i] $  e consideramos a seguinte soma de Riemann:
Line 27: Line 27:
 Agora vamos falar sério! Vamos ver porque tanto gostamos das funções contínuas: Agora vamos falar sério! Vamos ver porque tanto gostamos das funções contínuas:
  
-Teorema: Seja $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ contínua, então existe um único número $ I $ tal que para qualquer $ \epsilon > 0 $ existe $ \delta > 0 $ tal que para qualquer partição com mesh menor do que $ \delta $ para qualquer escolha de $ x_i^*$ temos+**Teorema:** Seja $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ contínua, então existe um único número $ I $ tal que para qualquer $ \epsilon > 0 $ existe $ \delta > 0 $ tal que para qualquer partição com mesh menor do que $ \delta $ para qualquer escolha de $ x_i^*$ temos
  
 $ |\sum_{i=1}^{n} (x_i -x_{i-1}) f(x_i^*) - I| \leq \epsilon $ $ |\sum_{i=1}^{n} (x_i -x_{i-1}) f(x_i^*) - I| \leq \epsilon $
Line 33: Line 33:
 e este número $ I $ é denotado por $ \int_{a}^{b} f$ e este número $ I $ é denotado por $ \int_{a}^{b} f$
  
-Exemplo 0: Considere a função constante $ f$ tal que $f(x)=c $ no intervalo $ [a,b]. $ Vamos mostrar que $ \int_{a}^{b} f = c(b-a). $+**Exemplo 0:** Considere a função constante $ f$ tal que $f(x)=c $ no intervalo $ [a,b]. $ Vamos mostrar que $ \int_{a}^{b} f = c(b-a). $
  
 Considerando qualquer partição, a soma de Riemann vai ser o mesmo valor! Por efeito, Considerando qualquer partição, a soma de Riemann vai ser o mesmo valor! Por efeito,
Line 43: Line 43:
 Como mencionamos acima, se $ f$ for uma função contínua, então a integral desta função num intervalo $ [a,b]$ é bem definida e é um número real. Porém, para ter integral, nõa precisamos de continuidade. Ou seja, as vezes temos sorte e as somas de Riemann convergem a um valor fixo que será chamado de integral da função. Porém nem toda função tem integral. Como mencionamos acima, se $ f$ for uma função contínua, então a integral desta função num intervalo $ [a,b]$ é bem definida e é um número real. Porém, para ter integral, nõa precisamos de continuidade. Ou seja, as vezes temos sorte e as somas de Riemann convergem a um valor fixo que será chamado de integral da função. Porém nem toda função tem integral.
  
-Exemplo: (Uma Função contínua por pedaços)+**Exemplo:** (Uma Função contínua por pedaços)
  
 Uma função $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ é contínua por pedaços, se existir Uma função $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ é contínua por pedaços, se existir
Line 65: Line 65:
 $ \sum_{i=1}^{m} (x_i - x_{i-1}) f(x_i^*) +  (x_{m+1} - x_{m}) f(x_m^*) + \sum_{i=m+1}^{n} (x_i - x_{i-1}) f(x_i^*)$ $ \sum_{i=1}^{m} (x_i - x_{i-1}) f(x_i^*) +  (x_{m+1} - x_{m}) f(x_m^*) + \sum_{i=m+1}^{n} (x_i - x_{i-1}) f(x_i^*)$
  
-$latex =  (x_{m+1} - x_{m}) f(x_m^*) + (2-x_{m+1}) $+$=  (x_{m+1} - x_{m}) f(x_m^*) + (2-x_{m+1}) $
  
 Quando o diametro da partição converge a zero, a soma de Riemann acima converge a 1. Por efeito, $ x_{m+1}- x_m \rightarrow 0, 0 \leq f(x_m) \leq 1 $ e $ x_{m+1} \rightarrow 1. $ Quando o diametro da partição converge a zero, a soma de Riemann acima converge a 1. Por efeito, $ x_{m+1}- x_m \rightarrow 0, 0 \leq f(x_m) \leq 1 $ e $ x_{m+1} \rightarrow 1. $
  
-Observação: Pode se mostrar que toda função contínua por pedaço tem integral definida.+**Observação:** Pode se mostrar que toda função contínua por pedaço tem integral definida.
  
-***+<color #ed1c24>Exercício:</color> Mostre que a função $ f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ definida por
  
-****+$ f(x)=0, x \in \mathbb{Q}, f(x)=1, x \notin \mathbb{Q} $  não tem integral!
  
-*******+Ok, mesmo quando a função é contínua, para calcular integral dela num intervalo não é prático sempre calcular um limite de todas as possíveis somas de Riemann! O Teorema fundamental de Cálculo será nosso aliado. 
  
-Exercício: Mostre que a função $ f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ definida por 
  
-$ f(x)=0, x \in \mathbb{Q}, f(x)=1, x \notin \mathbb{Q} $  não tem integral!+<WRAP center round tip 60%> 
 +===== Teorema fundamental de cálculo =====
  
-Ok, mesmo quando a função é contínua, para calcular integral dela num intervalo não é prático sempre calcular um limite de todas as possíveis somas de Riemann! O Teorema fundamental de Cálculo será nosso aliado. +</WRAP>
  
-<color #ed1c24>**Teorema Fundamental de Cálculo** (versão 1.0):</color> 
  
 Seja $ f : I \rightarrow \mathbb{R} $ ($ I  $ é um intervalo.) uma função contínua. Fixamos um ponto $ a \in I$ e definimos Seja $ f : I \rightarrow \mathbb{R} $ ($ I  $ é um intervalo.) uma função contínua. Fixamos um ponto $ a \in I$ e definimos
Line 91: Line 90:
 Então $ F $ é diferenciável e $ F^{'}=f. $  (veja página notação diferencial) Então $ F $ é diferenciável e $ F^{'}=f. $  (veja página notação diferencial)
  
-<color #ed1c24>Corolário Fundamental:</color>  Seja $ f : I \rightarrow \mathbb{R} $ ($ I  $ é um intervalo.) uma função contínua. Suponhamos $ \phi $ é uma primitiva para $ f $, i.e $ \phi^{'}=f $, então+**Corolário Fundamental:**  Seja $ f : I \rightarrow \mathbb{R} $ ($ I  $ é um intervalo.) uma função contínua. Suponhamos $ \phi $ é uma primitiva para $ f $, i.e $ \phi^{'}=f $, então
  
 $ \int_{a}^{b} f = \phi(b) - \phi(a). $ $ \int_{a}^{b} f = \phi(b) - \phi(a). $
Line 102: Line 101:
  
 $ \int_{a}^{b} f(x) = \phi(b)-\phi(a). $ $ \int_{a}^{b} f(x) = \phi(b)-\phi(a). $
-<color #ed1c24> + 
-Comentário:</color> Considerando $ f $ como corolário acima, existem infinitas primitivas para ela. Seja $ \psi = \phi + K $ onde $ K $ é um número constante, então, $ \psi^{'} = \phi^{'} = f. $ Entretanto observamos que dadas duas primitivas como $ \phi_1, \phi_2 $ então necessáriamente elas se diferem numa função constante. Por efeito, $ \phi_1^{'} - \phi_2^{'} = 0 $ e agora lembramos de cálculo 1 que se uma função tem derivada zero, então ela é constante.+<color #ed1c24>Comentário:</color> Considerando $ f $ como corolário acima, existem infinitas primitivas para ela. Seja $ \psi = \phi + K $ onde $ K $ é um número constante, então, $ \psi^{'} = \phi^{'} = f. $ Entretanto observamos que dadas duas primitivas como $ \phi_1, \phi_2 $ então necessáriamente elas se diferem numa função constante. Por efeito, $ \phi_1^{'} - \phi_2^{'} = 0 $ e agora lembramos de cálculo 1 que se uma função tem derivada zero, então ela é constante.
  
 O comentário acima pode ser aplicada de seguinte forma: No corolário fundamental, o valor $\int_{a}^{b} f $ não depende da escolha da primitiva, pois simplesmente para outra primitiva $ \psi = \phi + K $ temos O comentário acima pode ser aplicada de seguinte forma: No corolário fundamental, o valor $\int_{a}^{b} f $ não depende da escolha da primitiva, pois simplesmente para outra primitiva $ \psi = \phi + K $ temos
  
 $\psi(b) - \psi(a) = \phi(b)+K - (\phi(a) + K) = \phi(b) - \phi(a)$ $\psi(b) - \psi(a) = \phi(b)+K - (\phi(a) + K) = \phi(b) - \phi(a)$
- 
-*********** 
  
 Existe uma versão mais forte do corolário acima (sem assumir a continuidade da função dentro de integral) que é chamado de teorema fundamental de cálculo (versão 2.0): Existe uma versão mais forte do corolário acima (sem assumir a continuidade da função dentro de integral) que é chamado de teorema fundamental de cálculo (versão 2.0):
  
-Seja $ I$ um intervlo e $ F: I \rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável cuja derivada $latex F^{'}$ é integrável no intervalo $ [a, b] \subset I. $ Então:+Seja $ I$ um intervalo e $ F: I \rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável cuja derivada $ F^{'}$ é integrável no intervalo $ [a, b] \subset I. $ Então:
  
 $  \int_{a}^{b} F^{'} = F(b)-F(a).$ $  \int_{a}^{b} F^{'} = F(b)-F(a).$
Line 129: Line 126:
 Geralmente usamos a notação $ \int f $ sem determinar valores $ a, b.$ para denotar todas as primitivas da função $ f $. Geralmente usamos a notação $ \int f $ sem determinar valores $ a, b.$ para denotar todas as primitivas da função $ f $.
  
-Exemplos:+**Exemplos:**
  
 $ \int x^n = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + K, n \neq -1 $ e $ \int \frac{1}{x} = ln(x) + K. $ $ \int x^n = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + K, n \neq -1 $ e $ \int \frac{1}{x} = ln(x) + K. $
Line 147: Line 144:
 $ \int sec^2(x) = \int 1+tg^2(x) = tg(x) + K$ $ \int sec^2(x) = \int 1+tg^2(x) = tg(x) + K$
  
-...+(nas próximas páginas aprendemos alguns métodos para achar primitivas)
  
-********* (nas próximas páginas aprendemos alguns métodos para achar primitivas)+{{:kc.jpeg?400|}}
  
-Propriedades básicas de integral:+<WRAP center round tip 60%> 
 +===== Propriedades básicas de integral =====
  
-Teorema valor médio para integral: Seja $ f $ uma função contínua definida em $ [a,b], $ então existe $ c \in [a,b] $ tal que+</WRAP> 
 + 
 +**Teorema valor médio para integral:** Seja $ f $ uma função contínua definida em $ [a,b], $ então existe $ c \in [a,b] $ tal que
  
 $ \int_{a}^{b} f(t )dt = f(c) (b-a).$ $ \int_{a}^{b} f(t )dt = f(c) (b-a).$
Line 173: Line 173:
 Seja $ f$ uma função contínua e positiva definida no intervlao $ [a,b], $ então existe $ c \in [a,b] $ tal que a área abaixo do gráfico coincide com área do retângulo de altura $ f(c) $ e base $ [a,b]. $ Seja $ f$ uma função contínua e positiva definida no intervlao $ [a,b], $ então existe $ c \in [a,b] $ tal que a área abaixo do gráfico coincide com área do retângulo de altura $ f(c) $ e base $ [a,b]. $
  
-Definição: Quando $ a>b $ definimos $ \int_{a}^{b} f(t)dt = - \int_{b}^{a} f(t)dt $ e definimos $ \int_{a}^{a} f(t) dt=0. $+{{:somas_de_rieman-medio.png?400|}} 
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 +**Definição:** Quando $ a>b $ definimos $ \int_{a}^{b} f(t)dt = - \int_{b}^{a} f(t)dt $ e definimos $ \int_{a}^{a} f(t) dt=0. $
  
 Assim para quaisquer $ a, b, c \in \mathbb{R} $ temos Assim para quaisquer $ a, b, c \in \mathbb{R} $ temos
Line 183: Line 185:
 $ \int_{a}^{b} (c_1 f_1(t) + c_2 f_2(t)) dt = c_1 \int_{a}^{b} f_1(t) + c_c \int_{a}^{b} f_2(t)dt.  $ $ \int_{a}^{b} (c_1 f_1(t) + c_2 f_2(t)) dt = c_1 \int_{a}^{b} f_1(t) + c_c \int_{a}^{b} f_2(t)dt.  $
  
-Para demonstrar essa propriedade usamos aproximação da integral por somas de Riemann.+<color #22b14c>//Para demonstrar essa propriedade usamos aproximação da integral por somas de Riemann.//</color>
  
  
somasderieman.1693142362.txt.gz · Last modified: 2023/08/27 10:19 by 201.55.125.65