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 Nas paginas anteriores consideramos alguns exemplos onde conseguimos verificar limites superiores e inferiores para área abaixo do gráfico de algumas funções (positivas).  Vamos detalhar e generalizar um pouco mais essa abordagem e introduzir a notação de integral.
-<color #ed1c24>**Evolução dos símbolos**</color>
+====== Evolução dos símbolos ======
 Dada uma função $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $  (em geral nem precisa ser contínua) vamos seguir a ideia de estimar área abaixo do gráfico por soma das áreas de retângulos. Considere uma partição (um mesh, ou discretização em linguagem comptacional) do intervalo $ [a, b] $  por $ n+1 $  pontos $ x_0=a < x_1 < \cdots < x_n=b $ em cada intervalo $ [x_{i-1}, x_i] $ escolhemos um ponto arbitrário $ x_i^{*} \in [x_{i-1}, x_i] $  e consideramos a seguinte soma de Riemann:
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 Agora vamos falar sério! Vamos ver porque tanto gostamos das funções contínuas:
-Teorema: Seja $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ contínua, então existe um único número $ I $ tal que para qualquer $ \epsilon > 0 $ existe $ \delta > 0 $ tal que para qualquer partição com mesh menor do que $ \delta $ para qualquer escolha de $ x_i^*$ temos
+**Teorema:** Seja $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ contínua, então existe um único número $ I $ tal que para qualquer $ \epsilon > 0 $ existe $ \delta > 0 $ tal que para qualquer partição com mesh menor do que $ \delta $ para qualquer escolha de $ x_i^*$ temos
 $ |\sum_{i=1}^{n} (x_i -x_{i-1}) f(x_i^*) - I| \leq \epsilon $
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 e este número $ I $ é denotado por $ \int_{a}^{b} f$
-Exemplo 0: Considere a função constante $ f$ tal que $latex f(x)=c $ no intervalo $ [a,b]. $ Vamos mostrar que $ \int_{a}^{b} f = c(b-a). $
+**Exemplo 0:** Considere a função constante $ f$ tal que $f(x)=c $ no intervalo $ [a,b]. $ Vamos mostrar que $ \int_{a}^{b} f = c(b-a). $
 Considerando qualquer partição, a soma de Riemann vai ser o mesmo valor! Por efeito,
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 Como mencionamos acima, se $ f$ for uma função contínua, então a integral desta função num intervalo $ [a,b]$ é bem definida e é um número real. Porém, para ter integral, nõa precisamos de continuidade. Ou seja, as vezes temos sorte e as somas de Riemann convergem a um valor fixo que será chamado de integral da função. Porém nem toda função tem integral.
-Exemplo: (Uma Função contínua por pedaços)
+**Exemplo:** (Uma Função contínua por pedaços)
 Uma função $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ é contínua por pedaços, se existir
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 $ \sum_{i=1}^{m} (x_i - x_{i-1}) f(x_i^*) +  (x_{m+1} - x_{m}) f(x_m^*) + \sum_{i=m+1}^{n} (x_i - x_{i-1}) f(x_i^*)$
-$latex =  (x_{m+1} - x_{m}) f(x_m^*) + (2-x_{m+1}) $
+$=  (x_{m+1} - x_{m}) f(x_m^*) + (2-x_{m+1}) $
 Quando o diametro da partição converge a zero, a soma de Riemann acima converge a 1. Por efeito, $ x_{m+1}- x_m \rightarrow 0, 0 \leq f(x_m) \leq 1 $ e $ x_{m+1} \rightarrow 1. $
-Observação: Pode se mostrar que toda função contínua por pedaço tem integral definida.
+**Observação:** Pode se mostrar que toda função contínua por pedaço tem integral definida.
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+<color #ed1c24>Exercício:</color> Mostre que a função $ f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ definida por
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+$ f(x)=0, x \in \mathbb{Q}, f(x)=1, x \notin \mathbb{Q} $  não tem integral!
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+Ok, mesmo quando a função é contínua, para calcular integral dela num intervalo não é prático sempre calcular um limite de todas as possíveis somas de Riemann! O Teorema fundamental de Cálculo será nosso aliado.
-Exercício: Mostre que a função $ f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ definida por
-$ f(x)=0, x \in \mathbb{Q}, f(x)=1, x \notin \mathbb{Q} $  não tem integral!
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+===== Teorema fundamental de cálculo =====
-Ok, mesmo quando a função é contínua, para calcular integral dela num intervalo não é prático sempre calcular um limite de todas as possíveis somas de Riemann! O Teorema fundamental de Cálculo será nosso aliado.
+</WRAP>
-Teorema Fundamental de Cálculo (versão 1.0):
 Seja $ f : I \rightarrow \mathbb{R} $ ($ I  $ é um intervalo.) uma função contínua. Fixamos um ponto $ a \in I$ e definimos
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 Então $ F $ é diferenciável e $ F^{'}=f. $  (veja página notação diferencial)
-Corolário Fundamental:  Seja $ f : I \rightarrow \mathbb{R} $ ($ I  $ é um intervalo.) uma função contínua. Suponhamos $ \phi $ é uma primitiva para $ f $, i.e $ \phi^{'}=f $, então
+**Corolário Fundamental:**  Seja $ f : I \rightarrow \mathbb{R} $ ($ I  $ é um intervalo.) uma função contínua. Suponhamos $ \phi $ é uma primitiva para $ f $, i.e $ \phi^{'}=f $, então
 $ \int_{a}^{b} f = \phi(b) - \phi(a). $
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 $ \int_{a}^{b} f(x) = \phi(b)-\phi(a). $
-Comentário: Considerando $ f $ como corolário acima, existem infinitas primitivas para ela. Seja $ \psi = \phi + K $ onde $ K $ é um número constante, então, $ \psi^{'} = \phi^{'} = f. $ Entretanto observamos que dadas duas primitivas como $ \phi_1, \phi_2 $ então necessáriamente elas se diferem numa função constante. Por efeito, $ \phi_1^{'} - \phi_2^{'} = 0 $ e agora lembramos de cálculo 1 que se uma função tem derivada zero, então ela é constante.
+<color #ed1c24>Comentário:</color> Considerando $ f $ como corolário acima, existem infinitas primitivas para ela. Seja $ \psi = \phi + K $ onde $ K $ é um número constante, então, $ \psi^{'} = \phi^{'} = f. $ Entretanto observamos que dadas duas primitivas como $ \phi_1, \phi_2 $ então necessáriamente elas se diferem numa função constante. Por efeito, $ \phi_1^{'} - \phi_2^{'} = 0 $ e agora lembramos de cálculo 1 que se uma função tem derivada zero, então ela é constante.
 O comentário acima pode ser aplicada de seguinte forma: No corolário fundamental, o valor $\int_{a}^{b} f $ não depende da escolha da primitiva, pois simplesmente para outra primitiva $ \psi = \phi + K $ temos
 $\psi(b) - \psi(a) = \phi(b)+K - (\phi(a) + K) = \phi(b) - \phi(a)$
-***********
 Existe uma versão mais forte do corolário acima (sem assumir a continuidade da função dentro de integral) que é chamado de teorema fundamental de cálculo (versão 2.0):
-Seja $ I$ um intervlo e $ F: I \rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável cuja derivada $latex F^{'}$ é integrável no intervalo $ [a, b] \subset I. $ Então:
+Seja $ I$ um intervalo e $ F: I \rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável cuja derivada $ F^{'}$ é integrável no intervalo $ [a, b] \subset I. $ Então:
 $  \int_{a}^{b} F^{'} = F(b)-F(a).$
-Momento de felicidade:
+<color #ed1c24>**Momento de felicidade:**</color>
 Este corolário demonstra o poder do Teorema Fundamental de Cálculo. Percebemos que a partir de agora para calcular integral de uma função contínua num intervalo, basta acharmos uma primitiva para ela.
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 Num certo sentido, vamos pedir o poder de álgebra: Para calcular primitiva das funções muitas vezes usamos métodos algébricos. A felicidade é incontrolável.... Até que precisemos de fato calcular primitivas e colocar mão na massa!!
-Integral indefinida (veja página notação diferencialpara ter aprender cuidados necessários!):
+Integral indefinida (veja página [[alitahzibi.wordpress.com/calculo-2/primitivas-primitivos/notacao-diferencial/]] para ter aprender cuidados necessários!):
 Geralmente usamos a notação $ \int f $ sem determinar valores $ a, b.$ para denotar todas as primitivas da função $ f $.
-Exemplos:
+**Exemplos:**
 $ \int x^n = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + K, n \neq -1 $ e $ \int \frac{1}{x} = ln(x) + K. $
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 $ \int sec^2(x) = \int 1+tg^2(x) = tg(x) + K$
-...
+(nas próximas páginas aprendemos alguns métodos para achar primitivas)
-********* (nas próximas páginas aprendemos alguns métodos para achar primitivas)
+{{:kc.jpeg?400|}}
-Propriedades básicas de integral:
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+===== Propriedades básicas de integral =====
-Teorema valor médio para integral: Seja $ f $ uma função contínua definida em $ [a,b], $ então existe $ c \in [a,b] $ tal que
+</WRAP>
+**Teorema valor médio para integral:** Seja $ f $ uma função contínua definida em $ [a,b], $ então existe $ c \in [a,b] $ tal que
 $ \int_{a}^{b} f(t )dt = f(c) (b-a).$
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 Seja $ f$ uma função contínua e positiva definida no intervlao $ [a,b], $ então existe $ c \in [a,b] $ tal que a área abaixo do gráfico coincide com área do retângulo de altura $ f(c) $ e base $ [a,b]. $
-Definição: Quando $ a>b $ definimos $ \int_{a}^{b} f(t)dt = - \int_{b}^{a} f(t)dt $ e definimos $ \int_{a}^{a} f(t) dt=0. $
+{{:somas_de_rieman-medio.png?400|}}
+**Definição:** Quando $ a>b $ definimos $ \int_{a}^{b} f(t)dt = - \int_{b}^{a} f(t)dt $ e definimos $ \int_{a}^{a} f(t) dt=0. $
 Assim para quaisquer $ a, b, c \in \mathbb{R} $ temos
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 $ \int_{a}^{b} (c_1 f_1(t) + c_2 f_2(t)) dt = c_1 \int_{a}^{b} f_1(t) + c_c \int_{a}^{b} f_2(t)dt.  $
-Para demonstrar essa propriedade usamos aproximação da integral por somas de Riemann.
+<color #22b14c>//Para demonstrar essa propriedade usamos aproximação da integral por somas de Riemann.//</color>