Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- regracadeia [2023/11/10 13:04] – external edit 127.0.0.1
+++ regracadeia [2023/11/13 13:28] (current) – external edit 127.0.0.1
@@ Line 1: / Line 1: @@
 ====== Regra da Cadeia ======
-Lembram da famosa regra da cadeia no cálculo 1?
+Lembram da famosa regra da cadeia do cálculo 1?
 $  (f \circ g)^{'}(x) = f^{'}(g(x)) g^{'}(x).$
@@ Line 11: / Line 11: @@
 $  F'(a):=(g\circ f)'(a)=g'(b)\cdot f'(a)$.
-Observem que $  Df(a)$ é uma matriz $  m \times n$, enquanto $  Dg(b)$ é uma matriz $  p \times m$ e portanto produto delas na órdem que aprecem na fórmula acima faz sentodo e é uma matriz $  p \times n.$
+Note que o produto acima é um produto de matrizes.
-Casos especiais de mais interesse:
+<color #ed1c24>Observação:</color> $  f'(a)$ é uma matriz $  m \times n$, enquanto $  g'(b)$ é uma matriz $  p \times m$, logo $(g\circ f)'(a)$ é uma matriz $  p \times n$.
+**Exemplo:** Seja $F(u,v)=f(ue^{2uv},2v-u)$, onde $f$ é uma função diferenciável dada. Calcule $\dfrac{\partial F}{\partial u}$ e $\dfrac{\partial F}{\partial v}$.
+Enxergando $F$ como $f(x,y)$ temos que $x=ue^{2uv}$ e $y=2v-u$. Tomemos $g(u,v)=(ue^{2uv},2v-u)$. Daí $F=f\circ g$.
+Disso segue que
+$\dfrac{\partial F}{\partial u}= f_x\cdot \dfrac{\partial x}{\partial u}+f_y\cdot \dfrac{\partial y}{\partial u} =f_x(ue^{2uv},2v-u)\cdot (e^{2uv}+2vue^{2uv})+f_y(ue^{2uv},2v-u)\cdot (-1)$
+e
+$ \dfrac{\partial F}{\partial v}= f_x\cdot \dfrac{\partial x}{\partial v}+f_y\cdot \dfrac{\partial y}{\partial v} =f_x(ue^{2uv},2v-u)\cdot (2u^2e^{2uv})+f_y(ue^{2uv},2v-u)\cdot (2)
+$
+(continue os cálculos)
+===== Casos especiais de mais interesse =====
 Seja $\gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^2$ uma curva e $ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ uma função real. Então
@@ Line 35: / Line 51: @@
 e isto significa que o traço da curva $  \gamma$ é ortogonal ao vetor gradiente $  \nabla f(a)$ no ponto $  \gamma(0)=a.$
-Exemplo: Seja $  f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $  z= f(x, y)= x^2 - y^2.$ Podemos considerar coordenadas polares $  (r, \theta)$. Vamos calcular derivada de $  z$ com respeito das variáveis polares $  r, \theta.$
+**Exemplo:** Seja $  f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $  z= f(x, y)= x^2 - y^2.$ Podemos considerar coordenadas polares $  (r, \theta)$. Vamos calcular derivada de $  z$ com respeito das variáveis polares $  r, \theta.$
 Bem, $  z= r^2 cos^2(\theta) - r^2 sen^{2}(\theta).$ Então:
@@ Line 67: / Line 83: @@
 $  = [2r cos(2 \theta) ,  -2r^2 sen(2 \theta)].$
-Exercício: Considere a superfície $  z=x^2 - y^2$. Interprete geometricamente $  \frac{\partial z}{\partial r} = 0$ para $  \theta= \frac{\pi}{4}.$
+<color #ed1c24>Exercício:</color> Considere a superfície $  z=x^2 - y^2$. Interprete geometricamente $  \frac{\partial z}{\partial r} = 0$ para $  \theta= \frac{\pi}{4}.$
-Exemplo: Conservação de energia
+**Exemplo:** Conservação de energia
 Considere um sistema regido por leis de Newton tal que no momento $  t$ esteja na posição $  (x_1, \cdots, x_n)$ e velocidade $  (v_1, \cdots , v_n).$ Por exemplo se $  k$ partículas estejam sob força de gravidade, a posição do sistema (de $  k$ partículas) é determinada por $  n=3k$ componentes de posição  e $  3k$ componentes de velocidade. Observe que $  x_1, \cdots, x_n $ e $  v_1, \cdots, v_n $ sõa funções reais de tempo $  t. $