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+Seja $  S \subset \mathbb{R}^n. $ queremos trabalhar com funções cujo domínio é $  S $ e contra domínio $  \mathbb{R}^m. $
+Se $  n=1 $ estamos falando de curvas. Se $  m=1 $ então temos uma função que atribui a cada vetor (pontos de $  \mathbb{R}^n$) um número real. Chamamos essas funções, de funções reais.
+Uma função $  f : S \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $ pode ser escrita como $  m $ funções de $  \mathbb{R}^n$ em $  \mathbb{R}.$
+$  f(x_1, \cdots, x_n) = (f_1(x_1, \cdots, x_n), f_2(x_1, \cdots, x_n), \cdots , f_m(x_1, \cdots, x_n)). $
+O gráfico de uma função $  f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ é de grande utilidade para compreender a função. Caso das curvas o traço da curva tem informações geométricas. Observem que o gráfico de uma curva não é o traço dela. O gráfico de uma função $  f: X \rightarrow Y$ é dado por conjunto de pontos $  (x, y) : y = f(x) $ e portanto o gráfico de uma curva em $  \mathbb{R}^n $ é um subconjunto de $  \mathbb{R}^{n+1}!$
+<color #ed1c24>Exemplo:</color> Qual é o gráfico da função $  f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} , f(x, y)= x^2 + y^2 $
+Por definição o gráfico é $  \{ (x, y, z) : z = f(x, y)\} $ ou seja $  (x, y, z): z=x^2+y^2 $ e sabemos que este objeto é paraboloide.
+Vamos conhecer alguns outros objetos geométricos atrelados as funções reais $  f: S \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}.$
+<color #ed1c24>Analisar imagens de subconjuntos:</color>
+Uma outra forma de analisar uma função geometricamente, é achar a imagem de alguns subconjuntos de domínio. Vamos explicar isto com um exemplo. Este método geralmente é útil quando $  m=n, n \leq 3. $
+Exemplo: Considere $  f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, f(x, y)=(xcos(y), xsen(y)). $ É impossível imaginar o gráfico desta função, já que mora no espaço $  \mathbb{R}^4. $ Porém, vamos considerar alguns subconjuntos específicos do domínio e ver o que a função faz com eles!
+Primeiramente é conveniente utilizar outras variáveis para imagem da função:
+$  u = x cos(y),  v= x sen(y). $
+Agora vamos considerar subconjuntos simples como  retas, círculos... e verificar qual é sua imagem.
+Considere retas verticais e horizintais: $  x=a $ e $  y=b. $ Vamos ver qual é a imagem deles no plano $  (u, v). $
+A imagem da reta vertical $  x=a $ é círculo $  u^2 + v^2 = a^2. $ Observe que ambas enquanto um ponto varia nesta reta (variando $  y $ para pontos nesta reta $  (a, y) $) a imagem do ponto percorre o círculo infinitas vezes. Por outro lado a imagem da reta $  x=-a $ também é a mesma circunferência: centro na orígem do plano $  (u, v) $ e raio $  |a|. $
+Qual é imagem das retas horizontais? Verifiquem que a imagem da reta $  y=b $ é uma reta que passa pela orígem com equação $  sen(b) u - cos(b) v = 0. $
+Agora para exercicio vamos ver qual é imagem de figura H formada por retas $  x=1, x=-1 $ e segmento $  (x, 0):  -1 \leq x \leq 1. $
+Resposta: A imagem é um círculo com diâmetro dele.
+Qual é imagem de um retângulo com lados paralelos aos eixos $  x, y? $
+<color #ed1c24>Conjunto de Nível</color>
+Quando estudamos funções lineares, já encontramos conjuntos de nível. Se $  f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} $ é uma função linear. Então para um $  c \in \mathbb{R}$ na imagem desta função, o conjunto $  \{ (x, y, z) : f(x,y,z)=c \} $ é um conjunto de nível que neste caso é um plano.
+Em geral dada uma função $  f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $ e $  c \in \mathbb{R}^m $ e pertencente a imagem da função, então $  f^{-1}(c) = \{ (x, y, z) : f(x, y, z) = c\} $ é o conjunto nível ($  c $) da função $  f. $
+Se escrevermos $  f=(f_1, f_2,\cdots, f_m) $ então para $  c=(c_1, \cdots, c_m) $ temos que
+$  f^{-1}(c)= f_1^{-1}(c_1) \cap \cdots \cap f_m^{-1}(c_m) $
+onde$  f_i^{-1}(c_i) $ é o conjunto de nível da função $  f_i : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. $
+Os conjuntos de nível das funções lineares são muito bem compreendidas. Por exemplo todo conjunto de nível tem a mesma dimensão e são paralelos.
+Exemplo: considere $  f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2.$ Então para todo $  c > 0$ o conjunto nível $  c $ é uma esfera de raio $  \sqrt{c} $ e para $  c=0 $ o conjunto nível é um ponto, apenas orígem.
+SIM, vês está correta(o) quando pensa que os conjuntos de nível de uma função particionam todo o domínio da função em subconjuntos distintos e parece que o domínio fica folheado por conjuntos de nível! Na matemática, na teoria de topologia diferencial aprende essa folheação de uma forma profunda.
+Exercício: Considere $  f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ definida como $  f(x, y, z) = (z, x^2+y^2+z^2). $ Dado $  c= (c_1, c_2) $, qual é o conjunto de nível c?