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-Teorema: Sejam $E_n, n=1,2, \cdots$ mensuráveis e existe $F \in \mathcal{B}$ com medida finita, $\mu(F) < \infty$ tal que $E_i \subset F$ para todo $i$ , então $$ \lim \mu(E_n) = \mu(\lim E_n).$$ Claro que estamos assumindo que o limite de $E_n$ existe.
+<color #ff7f27>Teorema (convergência dominada para conjuntos)</color>: Sejam $E_n, n=1,2, \cdots$ mensuráveis e existe $F \in \mathcal{B}$ com medida finita, $\mu(F) < \infty$ tal que $E_i \subset F$ para todo $i$ , então $$ \lim \mu(E_n) = \mu(\lim E_n).$$ Claro que estamos assumindo que o limite de $E_n$ existe.
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-Agora usando que $E_n \subset F$ temos que $\bigcup_{n \geq N} E_n \Delta E$ que é uma sequência decrescente e sempre tem medida finita e portanto $0 = \lim_{N \rightarrow \infty} \mu(\bigcup_{n \geq N} E_n \Delta E)$. Portanto $\lim \mu(E_N \Delta E) = 0$ e agora não é dificil ver que isto implica que $\lim_{N \rightarrow \infty} \mu(E_N) = \mu(E).$ De fato
+Demonstração:
+Já que $E_n \subset F$ e que $\bigcup_{n \geq N} E_n \Delta E$  é uma sequência decrescente e sempre tem medida finita e portanto $0 = \lim_{N \rightarrow \infty} \mu(\bigcup_{n \geq N} E_n \Delta E)$. Portanto $\lim_{N \rightarrow \infty} \mu(E_N \Delta E) = 0$ e agora não é dificil ver que isto implica que $\lim_{N \rightarrow \infty} \mu(E_N) = \mu(E).$ De fato
 $$ |\mu(E) - \mu(E_N)| \leq \mu(E \Delta E_N).$$
+Exercício: No teorema acima realmente precisamos que $E_n \subset F$ com $F$ de medida finita. Mostre com um exemplo que não poderiamos assumir apenas que $\mu(E_n) < \infty.$
 ~~DISCUSSIONS~~