Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- medida:espacodemedida [2023/04/12 19:16] – tahzibi
+++ medida:espacodemedida [2023/04/17 09:01] (current) – external edit 127.0.0.1
@@ Line 63: / Line 63: @@
 </WRAP>
 <WRAP  round box >
-Teorema: Sejam $E_n, n=1,2, \cdots$ mensuráveis e existe $F \in \mathcal{B}$ com medida finita, $\mu(F) < \infty$ tal que $E_i \subset F$ para todo $i$ , então $$ \lim \mu(E_n) = \mu(\lim E_n).$$ Claro que estamos assumindo que o limite de $E_n$ existe.
+<color #ff7f27>Teorema (convergência dominada para conjuntos)</color>: Sejam $E_n, n=1,2, \cdots$ mensuráveis e existe $F \in \mathcal{B}$ com medida finita, $\mu(F) < \infty$ tal que $E_i \subset F$ para todo $i$ , então $$ \lim \mu(E_n) = \mu(\lim E_n).$$ Claro que estamos assumindo que o limite de $E_n$ existe.
 </WRAP>
-Agora usando que $E_n \subset F$ temos que $\bigcup_{n \geq N} E_n \Delta E$ que é uma sequência decrescente e sempre tem medida finita e portanto $0 = \lim_{N \rightarrow \infty} \mu(\bigcup_{n \geq N} E_n \Delta E)$. Portanto $\lim \mu(E_N \Delta E) = 0$ e agora não é dificil ver que isto implica que $\lim_{N \rightarrow \infty} \mu(E_N) = \mu(E).$ De fato
+Demonstração:
+Já que $E_n \subset F$ e que $\bigcup_{n \geq N} E_n \Delta E$  é uma sequência decrescente e sempre tem medida finita e portanto $0 = \lim_{N \rightarrow \infty} \mu(\bigcup_{n \geq N} E_n \Delta E)$. Portanto $\lim_{N \rightarrow \infty} \mu(E_N \Delta E) = 0$ e agora não é dificil ver que isto implica que $\lim_{N \rightarrow \infty} \mu(E_N) = \mu(E).$ De fato
 $$ |\mu(E) - \mu(E_N)| \leq \mu(E \Delta E_N).$$
+Exercício: No teorema acima realmente precisamos que $E_n \subset F$ com $F$ de medida finita. Mostre com um exemplo que não poderiamos assumir apenas que $\mu(E_n) < \infty.$
 ~~DISCUSSIONS~~