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+A noção de continuidade para funções de várias variáveis é similar ao caso unidimensional.
+Seja $  f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $ uma função real e $  a=(a_1, \cdots, a_n) $ pertencente ao domínio. Então a continuidade da $  f $ no ponto $  a $ é definida como a seguir:
+Dado uma tolerância de erro $  \epsilon > 0 $ existe um número $  \delta > 0 $ tal que se $  \|x-a\| \leq \delta $ então $  |f(x)-f(a)| \leq \epsilon. $ Observe que $  x, a \in \mathbb{R}^n $ e por isto usamos $  \| . \| $ para identificar a norma da diferença.
+Isto quer dizer que <color #ed1c24>"A computação no ponto $  a $ é estável!"</color>
+Existe uma forma ligeiramente diferente de falar sobre continuidade que é equivalente: Dado uma tolerância de erro $  \epsilon > 0 $ existem $  \delta_1, \delta_2 \cdots , \delta_n  > 0$ tais que se $  |x_i-a_i| \leq \delta_i $ então $  |f(x)-f(a)| \leq \epsilon. $
+<color #ff7f27>(Dentro de um retângulo com centro $  a $ existe uma bola com mesmo centro e dentro de qualquer bola com centro $  a $ existe um retângulo com mesmo centro! )</color>
+Em breve quando definimos a noção de limite, como no cálculo de uma variável, acharemos uma definição equivalente para continuidade em termos de limite.
+Exemplo1: Considere função afim $  f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, f(x_1, \cdots, x_n) = c_0 + c_1 x_1 + \cdots + c_n x_n. $ Vamos mostrar que essa função é contínua em todo $  a \in \mathbb{R}^n. $
+Vamos ver, quão próximo $  x_i $ e $  a_i $ devem estar para que $  f(x) $ e $  f(a) $ sejam $  \epsilon $ próximos.
+$  |f(x) - f(a)|  = |c_1(x_1-a_1) + \cdots + c_1 (x_n -a_n)| \leq |c_1(x_1-a_1)| + |c_1 (x_2-a_2)| + \cdots |c_n (x_n - a_n)| $
+Observe que se $  |c_i (x_i - a_i)| \leq \frac{\epsilon}{n} $ então $  |f(x)-f(a)| \leq \epsilon. $ Portanto bastava que $  |c_i||x_i - a_i| \leq \frac{\epsilon}{n}  $ ou seja bastaria que $  |x_i - a_i| \leq \frac{\epsilon}{|c_i| n}.  $
+Bem, se $  c_i=0 $ teríamos problema na escolha acima, porém este problema é de menos! bastaria então escolhermos $  |x_i - a_i| \leq \frac{\epsilon}{(|c_i|+1)n}. $
+Um exemplo de funções afins é a função de projeção: $  \pi_k : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \pi_k (x_1,\cdots, x_n)=x_k. $
+Exemplo/Exercício: Função produto e quociente:
+Seja $  f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ e $  f(x, y)=xy. $ Mostre que $  f $ é contínua em todo $  \mathbb{R}^2. $
+Seja  $  g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ e $  g(x, y)=\frac{x}{y}. $ Mostre que $  f $ é contínua em todo $  a=(a_1,a_2) \in \mathbb{R}^2 $ tal que $  a_2 \neq 0. $ Ou seja $  g$ é contínua (claro, no seu domínio.)
+Observem que se $  f: S \subset \mathbb{R}^n  \rightarrow \mathbb{R}^m$ e $  a \in S $ então a continuidade de $  f $ em $  a $ será equivalente `a continuidade de $  f_1, f_2, \cdots, f_m  $ em $  a $ onde $  f = (f_1, f_1, \cdots, f_m) $ e $  f_i : S \mathbb{R} $ são funções reais, componentes da $  f. $
+Composição de funções:
+Proposição: Sejam $  f: S \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m, g : T \rightarrow \mathbb{R}^p.$ Se $  f $ é contínua no ponto $  a $ e $  g $ contínua no ponto $  f(a)  $  então $  g\circ f $ é contínua no ponto $  g(f(a)). $
+Com essa proposição podemos analisar continuidade de funções racionais.
+Por exemplo considere polinômios simples como $  f(x_1, \cdots, x_n) = x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_n^{k_n}. $ Então $  f $ é contínua em todo $  \mathbb{R}^n. $ Para ver como provamos tal continuidade vamos ver um exemplo mais simple: $  g: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, g(x,y,z)=xyz $ é contínua. Por efeito, considere
+$  P : \mathbb{R}^3  \rightarrow \mathbb{R}^2, p(x,y,z)= (xy, z)$
+e
+$  Q : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, p(x,y)= xy $
+então $  f= Q \circ P.$
+Já que a soma das funções contínuas, é contínua teremos que toda função polinomial é contínua.
+Continuando este tipo de argumentos podemos concluir que toda função  racional é contínua.
+**Limite e continuidade**
+Primeiramente definimos pontos limites de um subconjunto $  S \subset \mathbb{R}^n. $ Lembrem que uma bola aberta em torno de $  a $ e de raio $  r $ é $  \{ x \in \mathbb{R}^n: \|x-a\| < r\} $
+Uma bola furada é  $   \{ x \in \mathbb{R}^n: 0 < \|x-a\| < r\}$. Ela não contem o ponto $  a $ (centro da bola).
+Definição: Dado um subconjunto $  S $ e $  a \in \mathbb{R}^n $, dizemos que $  a $ é um ponto limite, se para todo $  r > 0 $ existe um ponto do conjunto $  S $ dentro da bola furado de raio $  r $ em torno de $  a. $
+Exemplo: Os pontos limite do anel $  \{ x \in \mathbb{R}^n, 1 <  \|x-a\| < 2\} $ é o anel fechado $  \{ x \in \mathbb{R}^n, 1 \leq \|x-a\| \leq 2\}.$
+Definição (Limite): Seja $  f: S \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ e $  a $ um ponto limite de $  S. $ Então $  \lim_{x \rightarrow a} f(x)= b \in \mathbb{R}^m $ se para qualquer $  \epsilon > 0 $ existe $  \delta > 0 $ tal que para todo $  y \in S \cap B^{*}(a, r) $ temos
+ $   \|f(y) - b \| \leq \epsilon. $
+ onde $  B^{*}(a, r)$ é bola furado em torno de $  a $ e de raio $  \delta. $
+<color #ed1c24>A diferença entre limite e continuidade:</color>
+Na definição de limite o ponto $  a $ não precisa estar no domínio da função. Mesmo se $  a $ pertencer ao domínio da função, o limite pode não coincidir com $  f(a). $
+Definição de continuidade:
+Se $  a \in S $ (domínio da função $  f: S \rightarrow \mathbb{R}^m $) então $  f $ é contínua no ponto $  a $ se
+$  \lim_{x \rightarrow a} f(x)= f(a). $
+Exemplo:
+Considere $  S = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\} $ e $  f: S \rightarrow \mathbb{R} $ definida como:
+$  f(x, y)= \frac{xy}{x^2 + y^2} $. Calculamos $  \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y). $ Vamos aproximar ao orígem $  (0,0) $ ao longo da reta $  y=kx $, ou seja considerem pontos $  (x, kx) $ e analisamos  $  \lim_{(x, kx) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x, kx) = \frac{k}{1+k^2}$.
+Concluímos que o limite  depende do $  k. $ E assim não convergirá para um único valor fixo quando $  (x, y) \rightarrow (0, 0). $
+Exercício:
+Considere $  S = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\} $ e $  f: S \rightarrow \mathbb{R} $ definida como:
+$  f(x, y)= \frac{x^m y^n}{x^2 + y^2} $ onde $  m, n \geq 0 $ inteiros. Calcule $  \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y). $
+<color #22b14c>Uma função com limite existente ao longo de todas as retas, porém sem limite!</color>
+Considere $  \lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}.$ Se convergirmos ao longo da reta $  y=kx $ então o limite
+$  \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 (kx)}{x^4+ k^2 x^2} = 0$, porém se convergirmos ao longo das parábolas $  y=kx^2 $ teremos
+$  \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 (kx^2)}{x^4+ k^2 x^4} = \frac{k}{1+k^2}$ que depende de $  k$. Portanto o limite não existe.
+<color #ed1c24>Uso de coordenadas polares:</color>
+As vezes é conveniente usar coordenadas polares para calcular limites.
+Utilizando coordenadas polares $  x=rcos(\theta), y=rsen(\theta).$ A convergência $  (x, y) \rightarrow (0, 0) $ é a mesma que $  r \rightarrow 0 $. Observe que $  \theta $ não precisa convergir a nenhum valor. Quando $  (x, y) $ pertencete a reta $  y=kx $ converge a $  (0, 0) $ então $  \theta = arctg(k) $ é fixo e $  r \rightarrow 0. $
+Exemplo: Calcule $  \lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac{e^{-x^2 -y^2}-1}{x^2 + y^2}.$
+Usando coordenadas polares, vamos calcular
+$  \lim_{r \rightarrow 0} \frac{e^{-r^2} -1}{r^2}$ que tem determinação de tipo $  "\frac{0}{0}"$. Utilizando L'hopital o limite é $  -1.$