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--- integrallebesgue [2023/04/17 10:23] – tahzibi
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 Finalmente afirmamos que $\phi=\psi$ em quase todo ponto. Assim provamos que ambas são iguais a $f$ em quase todo ponto e portanto já que $\phi_n, \psi_n$ são mensuráveis, seu limite também é e portanto $f$ é mensurável (pois coincide q.t.p com uma função mensurável).
-Para provar afrimaçnao, seja
+Para provar afrimação, seja
 $$
 E = \{ x \in [a, b], \psi(x) - \phi(x) > 0\} =\bigcup_m \{ x \in [a, b], \psi(x) - \phi(x) > 1/m \}
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  \subset \bigcup_m \{ x \in [a, b], \psi_n(x) - \phi_n(x) > 1/m \}
 $$
-Porém já que $\int_{a}^{b} \psi_n - \phi_n < 1/n$ temos
+Porém já que $\int_{a}^{b} (\psi_n - \phi_n) < 1/n$ (integral de Lebesgue) temos
 $$
-\frac{1}{m} m(\{ x \in [a, b], \psi_n(x) - \phi_n(x) > 1/m) ) < \frac{1}{n}
+\frac{1}{m} m(\{ x \in [a, b], \psi_n(x) - \phi_n(x) > 1/m \} ) < \frac{1}{n}
-$$ e portanto
+$$
-$$m(\{ x \in [a, b], \psi_n(x) - \phi_n(x) > 1/m) ) < \frac{m}{n}.$$
+ e consequentemente
+$$m(\{ x \in [a, b], \psi_n(x) - \phi_n(x) > 1/m \} ) < \frac{m}{n}.$$ Já que para todo $n$ temos a desigualdade acima, concluímos a demonstração.