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 Precisamos enfatizar que não precisamos que a função seja limitada para definir integral de Lebesgue. O resultado supracitado é apenas para mostrar o poder da integral de Lebesgue. Por exemplo a função de Dirichlet que não era Riemann integrável, é Lebesgue integrável.
+Um resultado importante a ser destacado é:
+<WRAP center round tip 60%>
+Toda função limitada em $[a, b]$ é Lebesgue integrável se somente se for mensurável.
+</WRAP>
+Demonstração: Já mostramos que a mensurabilidade implica integrabilidade no caso de uma função limitada.
+Agora suponhamos $f$ ser integrável. Primeiro observem que existem partições $P_n$ de $[a, b]$ por conjuntos mensuráveis ($P_n$ é mais refinada que $P_{n-1}$) de tal forma que
+$$
+ \sum_{E \in P_n} (sup(f) - inf(f)) m(E_n) < 1/n.
+$$
+Considere $\phi_n := inf f$, i.e $\phi_n |_{E} = inf f|_{E}, E \in P_n$ e defina similarmente $\psi_n = sup f$ em $P_n.$ Observe que
+$$
+ \phi_{n-1} \leq \phi_n \leq \psi_n \leq \psi_{n-1}.
+$$
+Já que se tratam de funções monótonas, conclúimos que $\lim \phi_n, \lim_{\psi_n}$ existem e $\lim \phi_n \leq f \leq \lim \psi_n.$
+Finalmente afirmamos que $\phi=\psi$ em quase todo ponto. Assim provamos que ambas são iguais a $f$ em quase todo ponto e portanto já que $\phi_n, \psi_n$ são mensuráveis, seu limite também é e portanto $f$ é mensurável (pois coincide q.t.p com uma função mensurável).
+Para provar afrimação, seja
+$$
+E = \{ x \in [a, b], \psi(x) - \phi(x) > 0\} =\bigcup_m \{ x \in [a, b], \psi(x) - \phi(x) > 1/m \}
+$$
+$$
+ \subset \bigcup_m \{ x \in [a, b], \psi_n(x) - \phi_n(x) > 1/m \}
+$$
+Porém já que $\int_{a}^{b} (\psi_n - \phi_n) < 1/n$ (integral de Lebesgue) temos
+$$
+\frac{1}{m} m(\{ x \in [a, b], \psi_n(x) - \phi_n(x) > 1/m \} ) < \frac{1}{n}
+$$
+ e consequentemente
+$$m(\{ x \in [a, b], \psi_n(x) - \phi_n(x) > 1/m \} ) < \frac{m}{n}.$$ Já que para todo $n$ temos a desigualdade acima, concluímos a demonstração.