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+Até agora sempre consideramos integral de funções limitadas nos domínios limitados. Vamos além deste casos.
+**Integral imprópria (Categoria 1): Domínio ilimitado**
+Consideramos funções com domínio do tipo $  (-\infty, a] $ ou $  [a, \infty). $ Primeiramente consideramos $  f : [a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}. $ Suponhamos que para todo $  A>a $ a função $  f $ seja integrável no intervalo $  [a, A] $ e que $  \lim_{A \rightarrow \infty} \int_{a}^{A} f $ exista. Neste caso dizemos que
+$  \int_{a}^{\infty} f $ converge e $  \int_{a}^{\infty} f = \lim_{A \rightarrow \infty} \int_{a}^{A} f  $
+Exemplo 1: Seja $  p > 0 $. Analisamos a convergência de $  \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx. $
+Lembramos que se $  p\neq 1 $ então $  \int_{1}^{A} \frac{1}{x^p} dx = \frac{1}{-p+1} (A^{-p+1} -1) $ e
+$  p=1, \int_{1}^{A} \frac{1}{x^p} dx = ln(A).$
+Portanto $  \lim_{A \rightarrow \infty} \int_{1}^{A} \frac{1}{x^p} dx $ existe apenas quando $  p >1. $
+Exemplo 2: Dado $  \alpha > 0 $ podemos ver que
+$  \int_{0}^{A} e^{-\alpha x} = \frac{-1}{\alpha} (e^{-\alpha A} -1) $
+e portanto a integral $  \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x} dx $ converge e é igual a $  \frac{1}{\alpha}. $
+Exemplo 3:  Vamos mostrar que $  \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx $ converge!
+<color #ed1c24>
+Alerta: Não tentem calcular primitiva!</color>  o fato é que para $  x \geq 1 $ temos $  e^{-x^2} \leq e^{-x} $ e portanto
+$  \int_{1}^{A} e^{-x^2} dx \leq  \int_{1}^{A} e^{-x} dx$
+pelo exemplo anterior sabemos que a integral do lado direito quando $  A$ tende a infinito converge. o lado esquerdo é uma função crescente de $  A$ e portanto também converge (explicação de convergência no cálculo 1). Portanto $  \int_{1}^{\infty} e^{-x^2} dx $ converge e adicionando um número fixo $  \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx $ concluímos que
+$  \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx  $ converge.
+**Critério de comparação:**
+Sejam $  f, g $ funções não negativas e definidas no intervalo $  [a, \infty). $ Ambas integrável em qualquer intervalo $  [a, A], A \geq a. $ Suponhamos que existe $  K >a $ tal que $  \forall x > K , f(x) \leq g(x). $ Então:
+Se $  \int_{a}^{\infty} g $ convergir, $  \int_{a}^{\infty} f $ também converge.
+Se $  \int_{a}^{\infty} f$ divergir, $  \int_{a}^{\infty} g$ também diverge.
+**Integral imprópria (segunda categoria): domínio limitado**
+Agora consideramos casos em que uma função está definida numintervalo $  (a,b] $ e $  \lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x)= \infty. $ Existe um caso similar quando o domínio é de forma $  [a,b). $ Por exemplo considere a função $  f(x)=\frac{1}{x^p}, p >0 $ e observe que $  \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \infty. $
+Se para todo $  \epsilon $ tal que $  a+\epsilon \leq b $ a função $  f $ for integrável no intervalo $  [a+\epsilon, b] $ e
+$  \lim_{\epsilon \rightarrow o} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x)dx $ existir, dizemos que $  \int_{a}^{b} f $ converge. Caso contrário, dizemos que a integral diverge.
+Exemplo 4: Analise a convergência de $  \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx $ onde $  p >0. $
+Dado $  0 < \epsilon <1 $ para $  p \neq 1  $ temos $  \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x^p} dx = \frac{1}{-p+1} (1-\epsilon^{-p+1}) $ e para $  p =1, \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x} dx = - ln(\epsilon) $
+Podemos verificar que apenas para $  p < 1 $ a integral converge:
+$  \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx = \frac{1}{-p+1}. $
+Exemplo 5: Analisamos $  \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}}. $
+Aqui vamos considerar duas integrais $  \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}}  $ e $  \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} $ separadamente. Usando critério de comparação podemos mostrar que cada uma das integrais é convergente.
+De fato $  \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} $ é da segunda categoria. Vamos usar o critério da comparação:
+$  \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} < \frac{1}{\sqrt{x}} $ e pelo exemplos anteriores sabemos que $  \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} $ converge.
+Por outro lado $  \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} $ é da primeira categoria e novamente vamos utilizar critério da comparação. Essa vez observe que
+$  \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} < \frac{1}{\sqrt{x^3}} $ e já que $  \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3}} < \infty $ pelo teste da comparação concluímos que $  \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} < \infty. $
+Portanto $  \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} < \infty. $
+**Integral imprópria: Um ponto problemático no meio do domínio da integração**
+Agora vamos considerar integrais como $  \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}.$
+Observe que $  x=0  $ não pertence ao domínio da função. Neste caso, é conveniente considerar
+$  \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} :=  \int_{-1}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} + \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} $
+e cada uma das integrais impróprias do lado direito é convergente pelo exemplo (4).
+<color #22b14c>Exemplo Intrigante:</color>
+E agora vamos considerar $  \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx.$
+Observe que como exemplo anterior podemos dividir em duas integrais
+$  \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx:=   \int_{-1}^{0} \frac{1}{x} dx +   \int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx $
+e cada uma das integrais do lado direito é divergente e parece justo afirmar que a integral no intervalo $  [-1, 1]$ é divergente também!
+Porém podemos ter outro ponto de vista e considerar
+$  \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx := \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}  \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{x} dx + \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x} dx$
+Observe que para qualquer $  0< \epsilon <1  $ o lado direito da equação acima se anula. E portanto parece justo também definir a integral como zero!
+Porém, agora imagina que alguém queira calcular de seguinte:
+$   \int_{-1}^{-\epsilon_1} \frac{1}{x} dx +  \int_{\epsilon_2}^{1} \frac{1}{x} dx = \ln(\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2})$
+e agora tentamos "mandar" $  \epsilon_1, \epsilon_2$ para zero! Ora, dependendo da proporção $  \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}$ obteremos valores diferentes!!
+Para alguns problemas, o uso de uma destas formas de calculo pode ser útil. Geralmente denotamos este tipo de integrais por p.v. $  \int_{a}^{b} f(x)dx$ (principal value).