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| egorov-lusin [2023/08/10 10:19] – external edit 127.0.0.1 | egorov-lusin [2023/08/10 10:20] (current) – external edit 127.0.0.1 |
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| Demonstração; Seja $C_{i,j} := \cup_{k \geq j} \{x /in X: d(f_k(x), g(x)) > 2^{-i} \}$. Portanto $C_{i, j+1} \subset C_{i, j}.$ Já que $\mu(X) < \infty$ temos que $\lim_{j \rightarrow \infty} \mu(C_{i, j}) = 0.$ Então para cada $i$ existe $N(i)$ tal que $\mu(C_{i, N(i)}) < \epsilon/2^i.$ Agora observe que no complementar de $\cup_i C_{i, N(i)}$ a convergência é uniforme e este conjunto tem medida menor do que $\epdilon.$ | Demonstração; Seja $C_{i,j} := \cup_{k \geq j} \{x \in X: d(f_k(x), g(x)) > 2^{-i} \}$. Portanto $C_{i, j+1} \subset C_{i, j}.$ Já que $\mu(X) < \infty$ temos que $\lim_{j \rightarrow \infty} \mu(C_{i, j}) = 0.$ Então para cada $i$ existe $N(i)$ tal que $\mu(C_{i, N(i)}) < \epsilon/2^i.$ Agora observe que no complementar de $\cup_i C_{i, N(i)}$ a convergência é uniforme e este conjunto tem medida menor do que $\epsilon.$ |
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| Usando Teorema de Egorov é possível provar seguinte versão do teorema de Lusin: | Usando Teorema de Egorov é possível provar seguinte versão do teorema de Lusin: |
