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-Seja $f_n$ uma sequência de funções mensuráveis de um espaço com medida finita a um espaço métrico separável. Então dado $\epsilon >0$ exsite $A, m(A) \leq \epsilon$ tal que $f_n$ converge uniformemente fora do conjunto $A.$
+Seja $f_n : X \rightarrow Y$ uma sequência de funções mensuráveis de um espaço com medida finita a um espaço métrico. Então dado $\epsilon >0$ exsite $A, m(A) \leq \epsilon$ tal que $f_n$ converge uniformemente fora do conjunto $A.$
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+Demonstração; Seja $C_{i,j} := \cup_{k \geq j} \{x \in X: d(f_k(x), g(x)) > 2^{-i} \}$. Portanto $C_{i, j+1} \subset C_{i, j}.$ Já que $\mu(X) < \infty$ temos que $\lim_{j \rightarrow \infty} \mu(C_{i, j}) = 0.$ Então para cada $i$ existe $N(i)$ tal que $\mu(C_{i, N(i)}) < \epsilon/2^i.$ Agora observe que no complementar de $\cup_i C_{i, N(i)}$ a convergência é uniforme e este conjunto tem medida menor do que $\epsilon.$
 Usando Teorema de Egorov é possível provar seguinte versão do teorema de Lusin: