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-Seja $\phi^t : M \rightarrow M$ um fluxo contínuo gerado por um campo contínuo $X = \frac{\partial \phi_t}{\partial t}.$ O fluxo é topologicamente Anosov se preservar um par de folheações codimensão um $\mathcal{F}^{cs}, \mathcal{F}^{cu}$ e folheações $\mathcal{F}^s, \mathcal{F}^u$ satisfazendo:
+Seja $\phi^t : M \rightarrow M$ um fluxo contínuo gerado por um campo contínuo $X = \frac{\partial \phi_t}{\partial t}.$ O fluxo é topologicamente Anosov se preservar par de de folheações codimensão um $\mathcal{F}^{cs}, \mathcal{F}^{cu}$ e par de folheações $\mathcal{F}^s, \mathcal{F}^u$ satisfazendo:
   - para quaisquer $x, y$ na mesma folha estável forte $\mathcal{F}^{s},$  $d(\phi_t(x), \phi_{t}(y)) \rightarrow 0$ quando $t \rightarrow \infty$. Temos algo similar para folheação instável.
   - As folheações (dimensão 2) $\mathcal{F}^{cs},\mathcal{F}^{cu}$ são invariantes e topologicamente transversais.
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 Um difeomorfismo é chamado fluxo de Anosov discretizado se existir $\tau : M \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ tal que $f(x) = \phi^{\tau(x)}(x).$  Os difeormorfismos $C^1$ próximo a tempo um de fluxo de Anosov são fluxo de Anosov discretizado.
-De fato se $$
+<WRAP round box 40%>
+Equivalência orbital
+</WRAP>
+Sejam $\phi^t_1, \phi^t_2$ dois fluxos de Anosov topológico em $M$ e $N$ respectivamente. Dizemos que são equivalente orbital se existir homeomorfismo $\beta: M \rightarrow N$ que envia órbitas de $\phi^t_1$ a órbitas de $\phi^t_2$.
-Shannon: Todo fluxo topologicamente Anosov é orbit equivalente a um fluxo de Anosov.
+<WRAP  round tip 60%>
+M. Shannon: Todo fluxo topologicamente Anosov é equivalente orbital a um fluxo de Anosov.
+</WRAP>
+Um auto-equivalência $\beta$ de fluxo de Anosov $\phi^t$ é dita <color #ed1c24>trivial</color>, se existir uma função contínua $\tau$ tal que $\beta (x) = \phi^{\tau(x)}(x).$ Assim dizemos duas auto-equivalências $\alpha, \beta$ são da mesma classe, se $\beta \circ \alpha^{-1}$ é uma auto-equivalência trivial.
+<WRAP  round box 40%>
+Fluxo de Anosov colapsado
+</WRAP>
+Um difeomorfismo $f: M \rightarrow M$ parcialmente hiperbólico é dito fluxo de Anosov colapsado, se existirem fluxo de Anosov topológico $\phi^t$, $h: M \rightarrow M $ contínua e homotópica a identidade e uma auto-equivalência $\beta: M \rightarrow M$ de $\phi^t$ tais que:
+  * $h$ é diferenciável ao longo das órbitas do fluxo $\phi^t$ e transforma espaço tangente das ´prbitas em fibrado central da $f$
+  * $h$ é uma semi-conjugação entre $\beta$ e $f$: $$ f \circ h(x) = h \circ \beta(x).$$
+<WRAP center round info 60%>
+Fluxos de Anosov discretizados são fluxo de Anosov colapsado. Basta tomar $h= id$ e $\beta$ uma auto-equivalência trivial.
+</WRAP>
+<WRAP center round info 60%>
+O exemplo  de Bonatti-Wilkinson de difeomorfismo homotopico a identidade  e não sendo discretização de fluxo de Anosov também é fluxo de Anosov colapsado com $\beta$ uma auto-equivalência não trivial, porém de órdem finita: um iterado da auto-equivalência é trivial.
+</WRAP>
+~~DISCUSSION~~