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   * ou $M \approx S^2 \times S$ e $\mathcal{F}$ é a folheação produto, onde $S$ é uma variedade unidimensional compacta (ou seja, $S \approx S^1$ ou $S\approx I$).   * ou $M \approx S^2 \times S$ e $\mathcal{F}$ é a folheação produto, onde $S$ é uma variedade unidimensional compacta (ou seja, $S \approx S^1$ ou $S\approx I$).
  
-**Teorema de Rosenberg:** Se $M$ é uma $3$-variedade sem fronteira admitindo uma folheação bidimensional, então $M$ é irredutível. (<color #ed1c24>por planos?</color>)+Addendum: Rousarie provou que se $M^3$ não é irredutível e $\mathcal{F}$ folheação codimensão um, então tem folha compacta.
  
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 +**Teorema de Rosenberg:** Se $M$ é uma $3$-variedade sem fronteira admitindo uma folheação bidimensional por planos, então $M$ é irredutível.
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 Esses dois teoremas tem consequências importantes no caso em que $M$ é uma variedade compacta de dimensão $3$, não necessariamente sem bordo, e $\mathcal{F}$ é uma folheação tensa em $M$. Nesse caso, como $(M, \mathcal{F})$ não possui componentes de Reeb, um segundo resultado de Novikov ([[https://bookstore.ams.org/gsm-60/|[CC03]]], Teorema 9.1.3) implica que todas as folhas de $\mathcal{F}$ são $\pi_1$-injetivas (isto é, os mapas de inclusão das folhas em $M$ induzem mapas injetivos entre grupos fundamentais, e portanto todo laço essencial em uma folha é também essencial em $M$). Esses dois teoremas tem consequências importantes no caso em que $M$ é uma variedade compacta de dimensão $3$, não necessariamente sem bordo, e $\mathcal{F}$ é uma folheação tensa em $M$. Nesse caso, como $(M, \mathcal{F})$ não possui componentes de Reeb, um segundo resultado de Novikov ([[https://bookstore.ams.org/gsm-60/|[CC03]]], Teorema 9.1.3) implica que todas as folhas de $\mathcal{F}$ são $\pi_1$-injetivas (isto é, os mapas de inclusão das folhas em $M$ induzem mapas injetivos entre grupos fundamentais, e portanto todo laço essencial em uma folha é também essencial em $M$).
 Em particular, em $M_0 := M\setminus\partial M$, a folheação $\mathcal{F}_0$ mantém essa mesma propriedade. Pelo teorema de Novikov, ou $\pi_2(M) = 0$ ou  $M$ é homeomórfica ao produto de $S^2$ e uma variedade compacta. Caso $\pi_2(M) = 0$, então o fato de que $\mathcal{F}_0$ é $\pi_1$-injetiva implica que seu levantamento para o recobrimento universal de $M_0$ é uma folheação por planos (<color #ed1c24>porquê</color>) . Daí o teorema de Rosenberg implica que o recobrimento universal de $M_0$ é irredutível, o que implica que $M_0$, e consequentemente também $M$, são irredutíveis. Em suma: Em particular, em $M_0 := M\setminus\partial M$, a folheação $\mathcal{F}_0$ mantém essa mesma propriedade. Pelo teorema de Novikov, ou $\pi_2(M) = 0$ ou  $M$ é homeomórfica ao produto de $S^2$ e uma variedade compacta. Caso $\pi_2(M) = 0$, então o fato de que $\mathcal{F}_0$ é $\pi_1$-injetiva implica que seu levantamento para o recobrimento universal de $M_0$ é uma folheação por planos (<color #ed1c24>porquê</color>) . Daí o teorema de Rosenberg implica que o recobrimento universal de $M_0$ é irredutível, o que implica que $M_0$, e consequentemente também $M$, são irredutíveis. Em suma:
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 Claro, o teorema de Uniformização de Candel é automaticamente válido, por vacuidade, quando não existem medidas invariantes por holonomia não triviais. Esse corolário nos dá o Teorema C.1 do Apêndice C de [[ https://www.math.fsu.edu/~aluffi/archive/paper563.pdf | Berthelmé et al.]]: Claro, o teorema de Uniformização de Candel é automaticamente válido, por vacuidade, quando não existem medidas invariantes por holonomia não triviais. Esse corolário nos dá o Teorema C.1 do Apêndice C de [[ https://www.math.fsu.edu/~aluffi/archive/paper563.pdf | Berthelmé et al.]]:
  
-**Teorema C.1**: Seja $\mathcal{F}$ uma folheação tensa de uma $3$-variedade $M$. Se $(M, \mathcal{F})$ não admite metricas invariantes por holonomia não triviais, então existe uma métrica em $M$ que se restringe a uma métrica hiperbólica em cada uma das folhas de $\mathcal{F}$.+**Teorema C.1**: Seja $\mathcal{F}$ uma folheação tensa de uma $3$-variedade $M$. Se $(M, \mathcal{F})$ não admite medidas invariantes por holonomia não triviais, então existe uma métrica em $M$ que se restringe a uma métrica hiperbólica em cada uma das folhas de $\mathcal{F}$.
  
  
ebsd2021/potrie3.1626460504.txt.gz · Last modified: 2021/07/16 15:35 by tahzibi