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--- ebsd2021:potrie3 [2021/07/14 11:23] – [Uniformização de Folhas] 201.17.157.14
+++ ebsd2021:potrie3 [2021/07/20 16:06] (current) – tahzibi
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 //Demonstração//: O argumento é de fácil visualização. De maneira breve, se os pontos extremais $x_i := \gamma(i), i = 0,1$ pertencem à folha $L$, a ideia é considerar uma curva $\gamma_L$ contida na folha $L$ e unindo os pontos $x_0$ e $x_1$. Então $\gamma*\gamma_L^{-1}$ é uma curva fechada em $M$ transversa a folheação exceto na folha $L$. Basta então pertubar essa curva próximo a $L$ de maneira a obter uma transversal fechada $\sigma$:
-[IMAGEM]
+{{https://i.imgur.com/N93DsYp.png}}
 Essa demonstração pode ser encontrada com todos os detalhes em [[https://bookstore.ams.org/gsm-23/|[CC00]]], Proposição 3.3.7.
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   * ou $M \approx S^2 \times S$ e $\mathcal{F}$ é a folheação produto, onde $S$ é uma variedade unidimensional compacta (ou seja, $S \approx S^1$ ou $S\approx I$).
-**Teorema de Rosenberg:** Se $M$ é uma $3$-variedade sem fronteira admitindo uma folheação bidimensional, então $M$ é irredutível.
+Addendum: Rousarie provou que se $M^3$ não é irredutível e $\mathcal{F}$ folheação codimensão um, então tem folha compacta.
+**Teorema de Rosenberg:** Se $M$ é uma $3$-variedade sem fronteira admitindo uma folheação bidimensional por planos, então $M$ é irredutível.
 Esses dois teoremas tem consequências importantes no caso em que $M$ é uma variedade compacta de dimensão $3$, não necessariamente sem bordo, e $\mathcal{F}$ é uma folheação tensa em $M$. Nesse caso, como $(M, \mathcal{F})$ não possui componentes de Reeb, um segundo resultado de Novikov ([[https://bookstore.ams.org/gsm-60/|[CC03]]], Teorema 9.1.3) implica que todas as folhas de $\mathcal{F}$ são $\pi_1$-injetivas (isto é, os mapas de inclusão das folhas em $M$ induzem mapas injetivos entre grupos fundamentais, e portanto todo laço essencial em uma folha é também essencial em $M$).
-Em particular, em $M_0 := M\setminus\partial M$, a folheação $\mathcal{F}_0$ mantém essa mesma propriedade. Pelo teorema de Novikov, ou $\pi_2(M) = 0$ ou  $M$ é homeomórfica ao produto de $S^2$ e uma variedade compacta. Caso $\pi_2(M) = 0$, então o fato de que $\mathcal{F}_0$ é $\pi_1$-injetiva implica que seu levantamento para o recobrimento universal de $M_0$ é uma folheação por planos. Daí o teorema de Rosenberg implica que o recobrimento universal de $M_0$ é irredutível, o que implica que $M_0$, e consequentemente também $M$, são irredutíveis. Em suma:
+Em particular, em $M_0 := M\setminus\partial M$, a folheação $\mathcal{F}_0$ mantém essa mesma propriedade. Pelo teorema de Novikov, ou $\pi_2(M) = 0$ ou  $M$ é homeomórfica ao produto de $S^2$ e uma variedade compacta. Caso $\pi_2(M) = 0$, então o fato de que $\mathcal{F}_0$ é $\pi_1$-injetiva implica que seu levantamento para o recobrimento universal de $M_0$ é uma folheação por planos (<color #ed1c24>porquê</color>) . Daí o teorema de Rosenberg implica que o recobrimento universal de $M_0$ é irredutível, o que implica que $M_0$, e consequentemente também $M$, são irredutíveis. Em suma:
 **Proposição 5**: Se $M$ é uma variedade $3$-dimensional compacta equipada com uma folheação tensa, então ou $M$ é irredutível ou é homeomórfica ao produto de $S^2$ e uma variedade unidimensional compacta.
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-No caso em que $\mathcal{F}$ é uma folheação tensa de uma variedade tridimensional fechada $M$, a qual supomos não ser finitamente recoberta por $S^2 \times S^1$, então a Proposição 5 implica que o recobrimento universal $\tilde{M}$
+No caso em que $\mathcal{F}$ é uma folheação tensa de uma variedade tridimensional fechada $M$, a qual supomos não ser finitamente recoberta por $S^2 \times S^1$, então a Proposição 5 implica (<color #ed1c24>porquê?</color>) que o recobrimento universal $\tilde{M}$
 é homoeomorfo ao $\mathbb{R}^3$, e $\tilde{\mathcal{F}}$, sendo uma folheação planar, é conjugada a uma folheação de produto $(\mathbb{R}^3, \mathcal{F}_0 \times \mathbb{R})$, onde $\mathcal{F}_0$ é uma folheação planar de $\mathbb{R}^2$. As folhas do levantamento de $\mathcal{F}$ separam $\mathbb{R}^3$ em dois semi-espaços. Em particular cada um destes semi-espaços contem bolas de raio arbitrariamente grande.
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   * Se $(M, \mathcal{F})$ é uma variedade tridimensional fechada que não admite um recobrimento finito por $S^2\times S^1$, e $\mathcal{F}$ é tensa, então o seu recobrimento universal $\widetilde{M}$ é homeomorfo a $\mathbb{R}^3$. Além disso, cada folha de $\mathcal{F}$ levanta para um plano mergulhado em $\widetilde{M}$, que separa $\widetilde{M}$ em dois semi-espaços.
   * O espaço das folhas do levantamento $\widetilde{\mathcal{F}}$ é uma variedade não Hausdorff unidimensional, separável e simplesmente conexa. No mais, cada ponto nesse espaço das folhas está contido no interior de um intervalo. Em particular, qualquer curva transversal à $\widetilde{\mathcal{F}}$ intersecta cada folha de $\widetilde{\mathcal{F}}$ no máximo uma vez.
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 ====== Uniformização de Folhas ======
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 Os argumentos de Candel são baseados em métricas riemannianas folheadas e na característica de Euler folheada.
-**Definição 5**: Uma //métrica riemannian folheada// numa variedade $(M, \mathcal{F})$ é um 2-tensor $g: \mathrm{T}M \times \mathrm{T}M \to \mathbb{R}$ simétrico e positivo definido tal que, //para quaisquer campos $X, Y$ tangentes à folheação $\mathcal{F}$, a função $g(X,Y). M \to \mathbb{R}$
+**Definição 5**: Uma //métrica riemannian folheada// numa variedade $(M, \mathcal{F})$ é um 2-tensor $g: \mathrm{T}M \times \mathrm{T}M \to \mathbb{R}$ simétrico e positivo definido tal que, //para quaisquer campos $X, Y$ tangentes à folheação $\mathcal{F}$//, a função $g(X,Y): M \to \mathbb{R}$
 é suave.
-Observe que para campos de $M$ em geral, a função $g(X,Y)$ não precisa ser suave, logo $g$ não é, em geral, uma métrica riemanniana em $M$. Contudo, a restrição de $g$ a cada folha define naquela folha uma m´€trica riemanniana no sentido usual. De todo modo, o tensor $g$ define uma forma de conexão
+Observe que para campos de $M$ em geral, a função $g(X,Y)$ não precisa ser suave, logo $g$ não é, em geral, uma métrica riemanniana em $M$. Contudo, a restrição de $g$ a cada folha define naquela folha uma métrica riemanniana no sentido usual. De todo modo, o tensor $g$ define uma forma de conexão
-$\omega$ como no caso riemanniano usual, bem como uma $2$-forma de curvatura $\Omega = d\omega + \omega\wedge\omega$.
+$\omega$ como no caso riemanniano usual, bem como uma $2$-forma de curvatura folheada $\Omega = d\omega + \omega\wedge\omega$, a qual carrega informação sobre a curvatura das folhas de $\mathcal{F}$.
 No caso de varieades bidimensionais, o teorema de Gauss-Bonnet relaciona a curvatura com a característica de Euler. Com base nesse resultado, coloca-se para métricas riemannianas folheadas de $2$-folheações a seguinte definição:
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     \chi_\mu(M, \mathcal{F}) := \int_M \!\Omega d\mu.
 \]
+Pode se mostrar que a integral é bem definida, em virtude da invariância de $\mu$. De fato, a medida $\mu$ pode ser entendida como uma medida no espaço das folhas de $(M, \mathcal{F})$, ao passo que a integral de $\Omega$ sobre cada uma das folhas pode ser entendida como uma função do espaço das folhas $\mathcal{L}_{\mathcal{F}}$ em $\mathcal{R}$. De tal maneira, a característica de Euler é
+\[
+    \chi_\mu(M, \mathcal{F}) := \int_M \!\Omega d\mu = \int_{\mathcal{L}_{\mathcal{F}}}\!\left(\int_L\!\Omega\right)d\mu(L).
+\]
+É imediato da Definição 5 que se a curvatura é constante e negativa, então $\chi_\mu(M, \mathcal{F}) < 0$. O resultado de Candel é justamente a recíproca desse fato:
+**Teorema de Uniformização de Folheações Bidimensionais ([[http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.1678/|[Can93]]])**: Seja $\mathcal{F}$ uma folheação bidimensional orientável de uma variedade compacta $M$, equipada com uma métrica riemanniana folheada $g$. Então $g$ é conformalmente equivalente a uma métrica riemanniana folheada com respeito a qual todas as folhas de $\mathcal{F}$ tem curvatura constante igual a $-1$ se e somente se $\chi_\mu(M, \mathcal{F}) < 0$ para toda medida invariante por holonomia não trivial $\mu$.
+Uma demonstração desse teorema pode ser encontrada também em [[https://bookstore.ams.org/gsm-23/|[CC00]], Teorema 12.6.3]. A argumento consiste basicamente em mostrar que a existência de uma folha que não seja conformalmente recoberta pelo plano hiperbólico permite a construção de uma medida invariante por holonomia $\mu$ tal que $\chi_\mu(M, \mathcal{F}) \geq 0$, o que é feito a partir de "sequências de médias". Feito isso, o Teorema de Uniformização se aplica a cada uma das folhas de $\mathcal{F}$, garantindo a existência de funções de uniformização $\lambda_L: > 0$.
+É então suficiente mostrar que essas funções podem ser usadas de modo a construir uma única função suave $\lambda: M \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ que extende simultaneamente todas as $\lambda_L$.
+''Q.E.D''
+Claro, o teorema de Uniformização de Candel é automaticamente válido, por vacuidade, quando não existem medidas invariantes por holonomia não triviais. Esse corolário nos dá o Teorema C.1 do Apêndice C de [[ https://www.math.fsu.edu/~aluffi/archive/paper563.pdf | Berthelmé et al.]]:
+**Teorema C.1**: Seja $\mathcal{F}$ uma folheação tensa de uma $3$-variedade $M$. Se $(M, \mathcal{F})$ não admite medidas invariantes por holonomia não triviais, então existe uma métrica em $M$ que se restringe a uma métrica hiperbólica em cada uma das folhas de $\mathcal{F}$.
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   * [[https://core.ac.uk/download/pdf/82264750.pdf|[Ros68]]] H. Rosenberg, //Foliations by planes//, Topology **7** (1968), 131–138. MR 0228011 (37#3595)
+  ~~DISCUSSION~~