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-Skew produtos:
+Vamos lembrar alguns exemplos de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos em dimensão 3.
-Seja $A: N \rightarrow N$ um difeomorfismo de Anosov e $G$ um grupo de Lie compacto, seja $\theta: N \rightarrow G$ uma função diferenciável e definimos $A_{\theta} (p, g)= (A(p), \theta(p)g)$. Este é um exemplo de Skew produto parcialmente hiperbólico (exemplo algébrico).
+$f: M \rightarrow M$ é parcialmente hiperbólico (poinwise) se existir uma decomposição $Df-$invariante de $TM= E^s \oplus E^c \oplus E^u$ e $n > 0$tal que para todo $x \in M, v^{*} \in E^{*}(x), * \in \{s, c, u\}$
+$$ \|Df^n v^s\| < 1 < \|Df^n v^u\| \quad \text{&} \quad \|Df^n v^s\| < \|Df^n v^c\| < \|Df^n v^u\|
+$$
-Os exemplos $A_{\theta} (p, g) = (A(p), \theta(p) + g)$ onde $p \in \mathbb{T}^2, g \in \mathbb{S}^1$  são parcialmente hiperbólicos em $\mathbb{T}^3$ que é um fibrado sobre $\mathbb{T}^2.$ Observe que este fibrado é trivial. Isto é $\mathbb{T}^3 = \mathbb{T}^2 \times \mathbb{S}^1$ e é um fibrado orientável.
+Existe uma outra definicão, chamado de parcialmente hiperberbólico absoluto. Na definição de parcialmente hiperbólico absoluto, os vetores $v^s \in E^s(x), v^c \in E^c(y), v^u \in E^u(z)$ para três pontos arbitrários $x,y,z \in M.$
-====== Exemplo 1 ======
+===== Exemplo 1 =====
+Skew produtos:
+Seja $A: N \rightarrow N$ um difeomorfismo de Anosov e $G$ um grupo de Lie compacto, seja $\theta: N \rightarrow G$ uma função diferenciável e definimos $A_{\theta} (p, g)= (A(p), \theta(p)g)$. Este é um exemplo de Skew produto parcialmente hiperbólico (exemplo algébrico).
+Os exemplos $A_{\theta} (p, g) = (A(p), \theta(p) + g)$ onde $p \in \mathbb{T}^2, g \in \mathbb{S}^1$  são parcialmente hiperbólicos em $\mathbb{T}^3$ que é um fibrado sobre $\mathbb{T}^2.$ Observe que este fibrado é trivial.  $\mathbb{T}^3 = \mathbb{T}^2 \times \mathbb{S}^1$  é um fibrado orientável.
 Existem exemplos de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos em $3-$variedades que são fibrados não orientável.
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 De fato $$A_{\theta} \circ \phi (x, y, z) = A_{\theta} (x, y+1/2, -z) = (A(x, y)+ A(0, 1/2) , \theta (x, y+1/2, -z))$$ $$ = \phi \circ A_{\theta} (x, y, z) + (A(0, 1/2)- (0, 1/2), 0) = \phi \circ A_{\theta} (x, y, z)$$
-Finalmente observamos que $\mathbb{T}^3 / \phi$ é um fibrado não orientável.
+Finalmente observamos que $\mathbb{T}^3 / \phi$ é um fibrado não orientável.Observe que novamente o fibrado é sobre $\mathbb{T}^2 = \frac{\mathbb{R}^2}{\mathbb{Z} \oplus 1/2 \mathbb{Z}}.$
 ====== Exemplo 2 ======
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 ====== Exemplo 3 ======
-Fluxo geodésico: Considere $\Sigma$ uma superfície comapcta com curvatura negativa e seja $M = T^1 \Sigma$ o fibrado unitário $\{(x , v) : x \in \Sigma, v \in T_x \Sigma, \|v\| =1\}.$ Então é conhecido que o fluxo geodésico é um fluxo de Anosov e portanto $f := \phi^1$ (o tempo um do fluxo) é um difeomorfismo parcialmente hiperbólico. É fácil ver que $f$ é homotópico a identidade apenas considerando o caminho $g_t :=\phi^{t}.$ Claro que $g_0 = Id$ não é parcialmente hiperbólico. Portanto este é um exemplo de difeomorfismo parcialmente hiperbólico que é homotópico a identidade.
+Fluxo geodésico: Considere $\Sigma$ uma superfície compacta com curvatura negativa e seja $M = \mathrm{T}^1 \Sigma$ o fibrado unitário $\{(x , v) : x \in \Sigma, v \in \mathrm{T}_x \Sigma, \|v\| =1\}.$ Então é conhecido que o fluxo geodésico é um fluxo de Anosov e portanto $f := \phi^1$ (o tempo um do fluxo) é um difeomorfismo parcialmente hiperbólico. É fácil ver que $f$ é homotópico a identidade apenas considerando o caminho $g_t :=\phi^{t}.$ Claro que $g_0 = Id$ não é parcialmente hiperbólico. Portanto este é um exemplo de difeomorfismo parcialmente hiperbólico que é homotópico a identidade.
 O fibrado unitário é um fibrado de Seifert (é um fibrado por círculos sobre superfície $\Sigma$.)
-Todo difeomorfismo $g$, $C^1$ próximo de $\phi^{t_0}$ ($t_0$ fixo) também é um difeomorfismo parcialmente hiperbólico que também será homotópico a identidade. Observe que $g$ não é necessariamente tempo fixo do fluxo de Anosov. Porém podemos mostrar que existe um fluxo de Anosov topologico e $\tau : M \rightarrow (0, \infty)$ tal que $g(x) = \phi^{\tau(x)}(x).$ Este tipo de difeomorfismos é chamado discretized Anosov flow.
+Todo difeomorfismo $g$, $C^1$ próximo de $\phi^{t_0}$ ($t_0$ fixo) também é um difeomorfismo parcialmente hiperbólico que também será homotópico a identidade. Observe que $g$ não é necessariamente tempo fixo do fluxo de Anosov. Porém podemos mostrar que existe um fluxo de Anosov topologico e $\tau : M \rightarrow (0, \infty)$ tal que $g(x) = \phi^{\tau(x)}(x).$ Este tipo de difeomorfismos é chamado fluxo Anosov discretizado.
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 Não está claro para quais funções $\tau$ podemos afirmar que $\phi^{\tau}$ é parcialmente hiperbólico. Claro que precisamos de alguma exigência. Por exemplo $\tau$ não pode anular.
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-Porém Teorema de Barthelmé-Fenley-Frankel-Potrie mostra:
+Porém o teorema de Barthelmé-Fenley-Frankel-Potrie mostra:
 <color #ed1c24>Teorema</color>: Seja $f: M^{3} \rightarrow M^{3}$ um difeomorfismo parcialmente hiperbólico dinâmicamente coerente numa variedade fechada de Seifert. Se $f$ é homotópico a identidade então algum iterado de $f$ é discretized Anosov flow.
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 <color #ed1c24>Teorema</color>: Seja $f: M^{3} \rightarrow M^{3}$ um difeomorfismo parcialmente hiperbólico dinâmicamente coerente numa variedade hiperbólica. Então algum iterado de $f$ é discretized Anosov flow.
-Observamos que pelo Teorema de Rigidez de Mostow (link) se $f$ é um homeomorfismo de uma variedade hiperbólica então $f$ é homotópico a uma isometria $E$. Agora observe que se $E$ é uma isometria de $M$ compacta, então para algum $N$ suficientemente grande $E^N$ é próximo a identidade (basta considerar a sequência $E^n, n=1,2,\cdots$ que tem ponto de accumulação e $d(f^n, f^m) = d(Id, f^{m-n})$) e portanto homotópico a identidade.
+Observamos que pelo Teorema de Rigidez de Mostow (link) se $f$ é um homeomorfismo de uma variedade hiperbólica então $f$ é homotópico a uma isometria $E$. Agora observe que se $E$ é uma isometria de $M$ compacta, então para algum $N$ suficientemente grande $E^N$ é próximo a identidade (basta considerar a sequência $E^n, n=1,2,\cdots$ que tem ponto de accumulação e $d(E^n, E^m) = d(Id, E^{m-n})$) e portanto $E^{m-n}$ e consequentemente $f^{m-n}$ é homotópico a identidade.
+O exemplo abaixo mostra que no teorema em caso das variedades de Seifert, realmente precisamos tomar um iterado da $f$. Existem exemplos homotópicos a identidade que não são discretização de fluxo de Anosov (porém todos estes exemplos estão dentro de uma classe maior Collapse Anosov flows......)
+===== Exemplo 4 =====
+Seja $\Sigma$ uma superfície hiperbólica e $g_t : T^1 \Sigma \rightarrow T^1 \Sigma$ fluxo geodésico (que sabemos ser Anosov). Agora considere $M$ uma cobertura $k-$ramificada de $T^1 \Sigma$, isto é $\pi : M \rightarrow T^1 \Sigma$ um recobrimento  com $k-$pré imagem para cada ponto de $T^1 \Sigma$ e este recobrimento $k-$ramificado é de fato corresponde a cobertura $k-$ramificado de círculo unitário dentro de espaço tangente de cada ponto em $\Sigma$. Seja $S : M \rightarrow M$ a transformação de órdem $k$, i.e $S^k = Id$ correspondente a rotação de $2 \pi$ e $g^t_M$  levantamento do fluxo $g^t$ em $M$. Então $f = g^1_M \circ S$ é pacialmente hiperbólico, homotópico a identidade e não fixa folhas centrais, porém $f^k$ é uma discretização de fluxo de Anosov.
 ~~DISCUSSION~~