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--- dupla [2021/06/08 15:52] – tahzibi
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-Já vimos que a série de potência $\sum c_n x^n$ converge uniformemente no seu raio de convergência $(-R, R)$ e que a convergência nos ponto $x=R, x= -R$ é delicado. Dependendo do exemplo, podemos ter convergência ou não neste pontos. Entretanto podemos provar (Teorema de Abel) que se $\sum_{n=0}^{\infty} c_n R^n < \infty$ (convergente) então
-$$ \lim_{x \rightarrow R^{-}} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n R^n. $$
-{{youtube>x8ctIbwU1cs?small}}
-Série dupla:
-Seja $\{a_{i, j}\}_{i, j \in \mathbb{N}}$ uma sequência dupla de números reais. suponhamos que
-$$
- b_i = \sum_{j=1}^{\infty} |a_{ij}|
-$$ e que $\sum_{i=1}^{\infty} b_i < \infty.$ Então,
-$$
- \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} a_{ij} = \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} a_{ij}
-$$
-(isto parece o teorema de Fubini!)
-{{youtube>K036YnyC90Q?small}}
-Curiosidades sobre séries duplas:
-Em geral podemos ter: $\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} a_{ij} \neq \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} a_{ij}$
-Para dar um exemplo considere:\\
-1 0 0 0 ...\\
--1 0 1 0 0 ...\\
--1 0 1 0 ...\\
-0-1 0 1 ...\\
-Temos
-$$
- \sum_{j=1}^{\infty} a_{1j} = 1, \sum_{j=1}^{\infty} a_{ij}=0, i > 1.
-$$
-e por outro lado:
-$$
- \sum_{i=1}^{\infty} a_{i1} = -1, \sum_{i=1}^{\infty} a_{ij}=0, j > 1.
-$$