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+====== Massa, Densidade e centro de massa ======
+Considere uma barra fina não necessariamente homogênea. Alinhamos a barra no eixo $  x  $ tal que coincida com intervalo $  [a, b].  $ Podemos medir massa de cada pedaço da barra e denotamos por $  M(x)  $ a massa do pedaço no intervalo $  [a, x].  $ Claro que $  M  $ é uma função crescente e $  M(a)=0,  $ $  M(b)  $ é a massa total da barra.
+A media da massa no intervalo $  [x, x+h]  $ é dada por $  \frac{M(x+h)-M(x)}{h}.  $ Agora se diminuirmos $  h  $ e a função $  M  $ for diferenciável a densidade da massa no ponto $  x  $ será revelada por
+$  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{M(x+h)-M(x)}{h}= \mu(x).  $
+O <color #ed1c24>centro da massa</color> da barra será o ponto
+$  \bar{x}:= \frac{\int_{a}^{b} x \mu(x)}{\int_{a}^{b} \mu(x)}.  $(*)
+Observe que o denominador é exatamente a massa total da barra (pelo teorema fundamental de cálculo, $  \int_{a}^{b} \mu(x) dx = M(b)-M(a)=M(b).  $)
+o que significa o numerador da fração (*)?
+Vamos considerar um caso especial, onde a barra tem massa homogênea, $  \mu  $ uma função constante. Portanto
+$  \int_{a}^{b} x \mu dx = \mu \int_{a}^{b} x dx = \mu (\frac{1}{2}x^2)_{a}^{b}= \frac{1}{2} (b-a) (\frac{a+b}{2}).  $
+Observe que $  \mu (b-a)  $ é a massa total da barra e $  \frac{a+b}{2}  $ é o ponto médio. Neste caso, o centro da massa $  \bar{x} = \frac{a+b}{2}  $ é o ponto médio que era esperado.
+Exercício: Seja $  \mu  $ uma função contínua e densidade da barra representada por intervalo $  [a,b].  $ Seja $  \bar{x}  $ centro da massa. Então mostre que
+$  \int_{a}^{\bar{x}} (\bar{x}-x) \mu(x) dx = \int_{\bar{x}}^{b} (x - \bar{x}) \mu(x) dx.  $
+Observe que o integrando do lado esquerdo é produto da densidade num ponto do ado esquerdo por sua distância até centro da massa. similarmente para lado direito.
+Essa igualdade é a base da lei física de equilíbrio no centro da massa.
+====== Conceitos da Teoria de Probabilidade ======
+Uma variável aleatória é uma variável quantitativa, cujo resultado(valor) depende de fatores aleatórios. Um exemplo é o resultado do lançamento de um dado que pode dar qualquer número entre 1 e 6. Embora possamos conhecer os seus possíveis resultados, o resultado em si depende de fatores de sorte (álea).
+Outra variável aleatória é a altura de uma pessoa, em que o conjunto das pode ser toda população brasileira $  B  $ e a cada $  x \in B  $ o valor da variável é denotado por $  A(x) \in \mathbb{R}.  $ Portanto uma variável aleatória em princípio é uma função.
+Para ilustrar a distribuição de valores diferentes de uma variável aleatório como $  A  $ (altura) vamos supor que $  A(x) \in [a, b]  $ e dividimos o intervalo $  [a, b]  $ em $  n  $ partes
+$  a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b  $
+e sobre cada segmento $  [x_{i-1}, x_i]  $ consideramos um retângulo com altura igual (ou proporcional) ao número das pessoas cuja altura está no intervalo $  [x_{i-1}, x_i]  $, i.e $  \{x | A(x) \in [x_{i-1}, x_i]\}.  $
+A medida que refinamos a partição do intervalo $  [a, b]  $ obteremos informações com mais qualidade (mais detalhada) sobre distribuição de altura da população.
+Claramente estes gráfico são de tipo escada e em geral para aplicar teoria de funções, aproximamos por funções suaves.
+Função de distribuição e densidade de probabilidade:
+Se normalizarmos a variável (dividindo número total de cada faixa de altura por população total ) podemos falar de duas funções
+Função de densidade: $  f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}  $ tal que $  f(x) \geq 0  $ e $  \int_{a}^{b} f(t)dt =1  $
+Função de distribuição: $  F(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt  $ representa a probabilidade de altura de uma pessoa esteja menor do que $  x.  $
+Como no caso da densidade de massa, a função densidade é muito importante.
+Definimos a esperança ou média de uma variável aleatória como
+$  \mu(A) = \int_{a}^{b} t f(t) dt  $
+<color #22b14c>Entendemos essa média como uma versão contínua da média aritmética de uma sequência numérica.
+</color>
+De fato essa noção é parecida com centro da massa, pois aqui $  \int_{a}^{b} f(t) dt =1.  $
+====== Calcular Área e Volume ======
+Suponhamos $  f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}  $ duas funções contínuas e
+$  f(x) \geq g(x), x \in [a,b].  $
+Queremos calcular a área da região delimitada entre os gráficos delas e retas verticais $  x=a, x=b.  $
+Basta observar que se acrescentarmos a ambas as funções um mesmo valor constante $  C  $, i.e considerarmos duas novas funções $  f+C, g+C  $ a região delimitada correspondente tem a mesma área.
+Vamos escolher $  C  $ grande suficiente tal que $  f + C \geq 0, g+C \geq 0  $ e assim podemos ver que a área desejada é:
+$  \int_{a}^{b} f(x) + C dx - \int_{a}^{b} g(x) + C dx  $
+$  = \int_{a}^{b} (f(x) -g(x)) dx.  $ Portanto se $  F-G  $ é uma primitiva para $  f-g  $, a área desejada é $  (F-G)_{a}^{b} = (F(b)-G(b)) - (F(a)-G(a)).  $
+**Exemplo:** calcule a área da região entre gráficos de $  f(x)=x  $ e $  g(x)=x^2-x  $.
+Observe que os dois gráficos se intersectam: se $  x^2-x=x  $ temos $  x=0, 2.  $ Portanto a área entre os gráficos é:
+$  \int_{0}^{2} x - (x^2 -x) dx = (x^2 - \frac{1}{3}x^3)_{0}^{2}=  $
+$  4 - \frac{8}{3}= \frac{4}{3}.  $
+Até agora calculamos áreas correspondentes `as funções cujo domínio era um subconjunto do eixo $  x.  $ Porém eixo $  x  $ não tem nada de especial. Em cada problema podemos escolher um eixo específico e comprimento dos segmentos ortogonais a este eixo serão densidade da área. Por exemplo, calculamos área delimitada entre eixo $  x,  $ eixo $  y  $, reta $  y=3  $ e parábola $  y^2 - 2y -x+2=0.  $.
+{{:area-volume-1.png?400|}}
+O jeito mais fácil de calcular essa área é considerar a curva como gráfico de $  g  $ tal que $  g(y)= y^2-2y+2  $. Aqui a densidade da área é comprimento de segmentos horizontais correspondente a cada $  y  $ e assim
+$  Area= \int_{0}^{3} y^2-2y+2 dy = (1/3 y^3 - y^2 + 2y)_{0}^{3} = 6.  $
+O jeito mais complicado (faça para aprender, talvez em outro problema precise!) é dividir a região em 3 regiões ($  D_1, D_2, D_3  $) onde cada uma pode ser considerada como região entre gráfico de duas funções de $  x.  $ Veja a figura abaixo e observe que as partes curvadas são respectivamente gráfico de função $  y= 1+ \sqrt{x-1}  $ e $  y= 1-\sqrt{x-1}  $.
+{{:area-volume-2.png?400|}}
+====== Volume: ======
+Na matemática antiga, o cálculo de volume era por exaustão como caso de cálculo das áreas. Vamos usar um resultado intuitivo (princípio Cavalieri)
+Considere uma reta no espaço que denotamos por eixo $  x.  $ Temos um sólido $  M  $ cuja interseção com planos ortogonais ao eixo no ponto $  x  $ é uma figura planar de área $  A(x).  $ Se a função $  x \rightarrow A(x)  $ for integrável, então
+$  Volume (M) = \int_{a}^b{b} A(x)dx.  $
+Um exemplo clássico: <color #ed1c24>(Sólido de revolução)</color>
+Seja $  f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}  $ uma função contínua com valores não negativos. Rotacionando a região delimitada entre gráfico de $  f  $, eixo $  x  $ e retas $  x=a, x=b  $ em torno do eixo $  x  $ obteremos um sólido chamado de sólido de revolução (ou rotação).
+A área da "fatia" sobre ponto $  x  $ é $  \pi f(x)^2  $ (área de círculo de raio $  f(x)  $) e portanto o volume do sólido é
+$  \pi \int_{a}^{b} f(x)^2 dx.  $
+Um exemplo de sólido de revolução é cone cheio. Considere um cone circular com raio de base $  R  $ e altura $  h.  $ Então posicionamos o cone de tal forma que seu vértice esteja na origem e seu eixo de simetria coincida com eixo $  x.  $ Usando semelhança de triângulo, o raio de disco com centro no ponto $  x  $ é $  f(x)= \frac{R}{h}x.  $ Portanto o volume de cone é:
+$  \pi \int_{0}^{h} \frac{R^2}{h^2}x^2 dx = \pi \frac{R^2}{h^2} (\frac{1}{3}x^3)_{0}^{h} = \frac{1}{3} \pi R^2 h. $
+<color #ed1c24>Método cascas cilíndricas:</color>
+Considere gráfico da função $  f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}, f(x) > 0 $ e rotacionamos a região abaico do gráfico em torno do eixo $  y $. Vamos mostrar que o volume do sólido obtido é $  \int_{a}^{b} 2 \pi x f(x) dx. $