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-ok, vamos seguir um caminho diferente para mostrar existência de $  c  $. Para começar vamos facilitar e considerar $  f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}  $ contínua tal que    $  f(0) < 0 < f(1) $
+ok, vamos seguir um caminho diferente para mostrar existência de $  c  $. Para começar vamos facilitar e considerar $  f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}  $ contínua tal que    $  f(0) < 0 < f(1).$
 e vamos mostrar que existe $  c \in [0,1]  $ tal que $  f(c)=0.  $ O caso geral segue deste caso, como veremos depois da demonstração do caso especial.
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 Assim esclarecemos a escolha de $  n_1.  $
-Repetimos este processo, sempre dividindo o intervalo em dois intervalos iguais. Ou seja dividimos o intervalo $  I_1  $ e olhamos para o sinal de $  f(m_1)  $ onde $  m_1  $ é o ponto médio do intervalo $  I_1.  $ Novamente se $  f(m_1)=0  $ então já achamos o que queriamos e $  c=m_1  $ e se não, teremos dois casos:
+Repetimos este processo, sempre dividindo o intervalo em dois intervalos iguais. Ou seja dividimos o intervalo $  I_1  $ e olhamos para o sinal de $  f(m_1)  $ onde $  m_1  $ é o ponto médio do intervalo $  I_1.  $ Novamente se $  f(m_1)=0  $ então já achamos o que queríamos e $  c=m_1  $ e se não, teremos dois casos:
 Se $  f(m_1) > 0  $ então continuamos a busca no intervalinho do lado esquerdo e colocamos $  n_2=0  $, caso contrário $  n_2= 1  $
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 Repetindo este argumento obteremos $  n_1 < n_2 < n_3 \cdots < n_k < \cdots  $ e $  d^{(k)} \in I_{n_k}  $  tal que $  d^{(k)} \rightarrow c.  $ Isto é porque o tamanho dos intervalos $  I_{n_k}  $ tende a zero e $  c  $ está na interseção de todos eles.
-Claro que isto tem uma contradicão com a continuidade da função $  f  $. Pois, já que $  d^{(k)} \rightarrow c  $ pela continuidade $  f(d^{(k}) \rightarrow f(c)  $, enquanto pela escolha dos $  d^{(k)}  $ (veja :-P) temos $  f(c) < f(d) \leq f(d^{(k)})  $  e portanto $  f(c) < \lim_{k \rightarrow \infty} f(d^{(k)}).  $ Isto é um absurdo!
+Claro que isto tem uma contradicão com a continuidade da função $  f  $. Pois, já que $  d^{(k)} \rightarrow c  $ pela continuidade $  f(d^{(k}) \rightarrow f(c)  $, enquanto pela escolha dos $  d^{(k)}  $ (veja :-P) temos $  f(c) < f(d) \leq f(d^{(k)})  $  e portanto $  f(c) < \lim_{k \rightarrow \infty} f(d^{(k)}).  $ Isto é um absurdo!!