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| Sejam $ f, g $ diferenciável numa vizinhança furada $N$ de $ a $ e suponhamos que: | Sejam $ f, g $ diferenciável numa vizinhança furada $N$ de $ a $ e suponhamos que: |
| | $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)= \infty, \lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty,$ |
| $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)= \infty $ | para todo $ x \in N, g^{'}(x)\neq 0 $ e $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}= L $ onde $ L \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}.$ |
| Para todo $ x \in N, g^{'}(x)\neq 0 $ e $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}= L $ onde $ L \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} $ | Então: $ lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=L. $ |
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| então: $ lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=L. $ | |
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| Demonstração (vamos fazer já que existe muitos demonstrações erradas na internet): | Demonstração (vamos fazer já que existe muitos demonstrações erradas na internet): |
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| Sejam $ p, q $ tais que $ p < L < q $ e escolha $ L < r < q $. Já que $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L $ então para existe uma vizinhança de $ a $ tal que nesta vizinhança $ \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r $. Agora para quaisquer dois números $ x, y $ nessa vizinhança pelo Teorema do Valor médio generalizado temos | Sejam $ p, q $ tais que $ p < L < q $ e escolha $ L < r < q $. Já que $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L $ então para existe uma vizinhança furada de $ a $ tal que nesta vizinhança $ \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r $. Agora para quaisquer dois números $x, y$ nessa vizinhança (considere ambos $x, y$ ou maior do que $a$ ou menor) pelo Teorema do Valor médio generalizado temos |
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| $ \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)} = \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r $ (1) | $ \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)} = \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r $ (1) |
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| Pela hipotese sabemos que $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)=\infty $. Fixamos a partir de agora o ponto $ y $ e portanto para $ x $ muito próximo de $ a $ temos pelo menos $ g(x) > g(y) $ e consequentemente $ g(x)-g(y) > 0. $ | Pela hipotese sabemos que $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)=\infty $ (considere o caso em que $+\infty$). Fixamos a partir de agora o ponto $ y $ e portanto para $ x $ muito próximo de $ a $ temos pelo menos $ g(x) > g(y) $ e consequentemente $ g(x)-g(y) > 0. $ |
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| Entõa podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade (1) no fator $ g(x) -g(y) $ e dividimos por $ g(x) $ obteremos | Então podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade (1) no fator $ g(x) -g(y) $ e dividimos por $ g(x) $ obteremos |
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| $ \frac{f(x)}{g(x)} < r - r \frac{g(y)}{g(x)} + \frac{f(y)}{g(x)}. $ | $ \frac{f(x)}{g(x)} < r - r \frac{g(y)}{g(x)} + \frac{f(y)}{g(x)}. $ |
