| Both sides previous revisionPrevious revisionNext revision | Previous revision |
| calculo1:hopital [2022/06/05 22:00] – external edit 127.0.0.1 | calculo1:hopital [2022/06/06 07:44] (current) – external edit 127.0.0.1 |
|---|
| Bom, vamos ao que nós interessa mais! | Bom, vamos ao que nós interessa mais! |
| |
| | <WRAP round tip > |
| Teorema (caso $ \frac{0}{0} $): Suponhamos que $ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=0, \lim_{x \rightarrow a} g(x)=0 $ e que $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L $, onde $ L \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} $, então: | Teorema (caso $ \frac{0}{0} $): Suponhamos que $ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=0, \lim_{x \rightarrow a} g(x)=0 $ e que $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L $, onde $ L \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} $, então: |
| |
| $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L $ | $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L $ |
| | </WRAP> |
| | |
| |
| Observação: Neste teorema estamos assumindo $ a \in \mathbb{R} $. Porém o limite $ L $ pode ser infinito também. A demonstração aqui é para $ L \in \mathbb{R} $ e o caso infinito realmente é um pequeno exercício. | Observação: Neste teorema estamos assumindo $ a \in \mathbb{R} $. Porém o limite $ L $ pode ser infinito também. A demonstração aqui é para $ L \in \mathbb{R} $ e o caso infinito realmente é um pequeno exercício. |
| Já que $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} $ existe, concluímos que num intervalo (talvez furado no centro) em torno de $ a $ as derivadas existem e $ g^{'}(x) \neq 0. $ Vamos denotar por $ I $ este intervalo. Definimos duas novas funções (muito parecidas com $ f, g $): Sejam $ F, G $ tais que $ F(a)=G(a)=0 $ e $ f(x)=F(x), g(x)=G(x) $ para todos os outros pontos do domínio das funções $ f, g. $ | Já que $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} $ existe, concluímos que num intervalo (talvez furado no centro) em torno de $ a $ as derivadas existem e $ g^{'}(x) \neq 0. $ Vamos denotar por $ I $ este intervalo. Definimos duas novas funções (muito parecidas com $ f, g $): Sejam $ F, G $ tais que $ F(a)=G(a)=0 $ e $ f(x)=F(x), g(x)=G(x) $ para todos os outros pontos do domínio das funções $ f, g. $ |
| |
| Dado qualquer $ x \in I $ Podemos aplicar o teorema do valor médio generalizado para $ F, G $ no intervalos com pontos extremos $ a, x. $ e portanto | Dado qualquer $ x \in I $ podemos aplicar o teorema do valor médio generalizado para $ F, G $ no intervalos com pontos extremos $ a, x. $ e portanto |
| |
| $ \frac{F^{'}(c)}{G^{'}(c)} = \frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)} = \frac{f(x)}{g(x)}. $ | $ \frac{F^{'}(c)}{G^{'}(c)} = \frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)} = \frac{f(x)}{g(x)}. $ |
| ********************* | ********************* |
| |
| | <WRAP round tip > |
| Teorema (Caso $ \frac{\infty}{\infty} $) | Teorema (Caso $ \frac{\infty}{\infty} $) |
| |
| Sejam $ f, g $ diferenciável numa vizinhança furada de $ a $ e suponhamos que: | Sejam $ f, g $ diferenciável numa vizinhança furada $N$ de $ a $ e suponhamos que: |
| | $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)= \infty, \lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty,$ |
| $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)= \infty $ | para todo $ x \in N, g^{'}(x)\neq 0 $ e $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}= L $ onde $ L \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}.$ |
| Para todo $ x \in N, g^{'}(x)\neq 0 $ e $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}= L $ onde $ L \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} $ | Então: $ lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=L. $ |
| |
| então: $ lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=L. $ | </WRAP> |
| |
| Observação: Como no caso do teorema anterior o teorema é válido mesmo quando o limite $ L $ é infinito e/ou $ a = \infty. $ | Observação: Como no caso do teorema anterior o teorema é válido mesmo quando o limite $ L $ é infinito e/ou $ a = \infty. $ |
| Demonstração (vamos fazer já que existe muitos demonstrações erradas na internet): | Demonstração (vamos fazer já que existe muitos demonstrações erradas na internet): |
| |
| Sejam $ p, q $ tais que $ p < L < q $ e escolha $ L < r < q $. Já que $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L $ então para existe uma vizinhança de $ a $ tal que nesta vizinhança $ \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r $. Agora para quaisquer dois números $ x, y $ nessa vizinhança pelo Teorema do Valor médio generalizado temos | Sejam $ p, q $ tais que $ p < L < q $ e escolha $ L < r < q $. Já que $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L $ então para existe uma vizinhança furada de $ a $ tal que nesta vizinhança $ \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r $. Agora para quaisquer dois números $x, y$ nessa vizinhança (considere ambos $x, y$ ou maior do que $a$ ou menor) pelo Teorema do Valor médio generalizado temos |
| |
| $ \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)} = \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r $ (1) | $ \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)} = \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r $ (1) |
| |
| Pela hipotese sabemos que $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)=\infty $. Fixamos a partir de agora o ponto $ y $ e portanto para $ x $ muito próximo de $ a $ temos pelo menos $ g(x) > g(y) $ e consequentemente $ g(x)-g(y) > 0. $ | Pela hipotese sabemos que $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)=\infty $ (considere o caso em que $+\infty$). Fixamos a partir de agora o ponto $ y $ e portanto para $ x $ muito próximo de $ a $ temos pelo menos $ g(x) > g(y) $ e consequentemente $ g(x)-g(y) > 0. $ |
| |
| Entõa podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade (1) no fator $ g(x) -g(y) $ e dividimos por $ g(x) $ obteremos | Então podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade (1) no fator $ g(x) -g(y) $ e dividimos por $ g(x) $ obteremos |
| |
| $ \frac{f(x)}{g(x)} < r - r \frac{g(y)}{g(x)} + \frac{f(y)}{g(x)}. $ | $ \frac{f(x)}{g(x)} < r - r \frac{g(y)}{g(x)} + \frac{f(y)}{g(x)}. $ |
