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calculo1:derivar

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 Proposição: Sejam  $ f,g  $ duas funções diferenciáveis em  $ a  $, então Proposição: Sejam  $ f,g  $ duas funções diferenciáveis em  $ a  $, então
  
-  - A função  $ f+g  $ também é diferenciável no ponto  $ a   $ e  $ (f+g)^{'}(a)=f^{'}(a)+g^{'}(a).  $ +  - A função  $ f+g  $ também é diferenciável no ponto  $ a$ e $ (f+g)^{'}(a)=f^{'}(a)+g^{'}(a).$ 
-  - (Regra de Leibniz) O produto  $ fg  $ também é diferenciável no ponto  $ a  $ e                                                    $ (fg)^{'}(a)= f^{'}(a)g(a) + f(a)g^{'}(a).  $+  - (Regra de Leibniz) O produto  $ fg  $ também é diferenciável no ponto  $ a  $ e $ (fg)^{'}(a)= f^{'}(a)g(a) + f(a)g^{'}(a).  $
   - Se  $ g(a) \neq 0  $ e a função  $ \frac{f}{g}  $ for definida numa vizinhança do ponto  $ a  $ então $ (\frac{f}{g})^{'}(a) = \frac{f^{'}(a)g(a) - f(a)g^{'}(a)}{g(a)^2}  $   - Se  $ g(a) \neq 0  $ e a função  $ \frac{f}{g}  $ for definida numa vizinhança do ponto  $ a  $ então $ (\frac{f}{g})^{'}(a) = \frac{f^{'}(a)g(a) - f(a)g^{'}(a)}{g(a)^2}  $
  
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 +Derivada de exponencial
 +</WRAP>
  
 Vamos calcular derivada da função exponencial. De fato mostramos que se  $ f(x)=e^x  $ então  $ f^{'}(x)=e^x.  $ Vamos calcular derivada da função exponencial. De fato mostramos que se  $ f(x)=e^x  $ então  $ f^{'}(x)=e^x.  $
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 e também  $ a^x = e^{ln(a)x}  $ e como um exercício o leitor mostra o resultado desejado sobre derivada da função  $ a^x.  $ e também  $ a^x = e^{ln(a)x}  $ e como um exercício o leitor mostra o resultado desejado sobre derivada da função  $ a^x.  $
  
- +Como calcular a derivada da função $f: f(x)=ln(x)?$ 
-----+Claro que podemos usar a definição da derivada. Porém vamos utilizar uma tecnologia chamada Regra de Cadeia:
  
 ====== Regra de cadeia  ====== ====== Regra de cadeia  ======
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 onde  $ \eta(h) = R(h)g^{'}(b) + f^{'}(a) \sigma(k) + R(h) \sigma(k)   $  e fácil ver que  $ \eta(h) \rightarrow 0  $ quando  $ h \rightarrow 0.  $ onde  $ \eta(h) = R(h)g^{'}(b) + f^{'}(a) \sigma(k) + R(h) \sigma(k)   $  e fácil ver que  $ \eta(h) \rightarrow 0  $ quando  $ h \rightarrow 0.  $
 +
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 +Derivada de logaritmo
 +</WRAP>
  
  
 +Vamos usar regra de cadeia para calcular derivada de $f(x)=ln(x).$ Basta considerar $g(x)=e^x$ e observar que $g(f(x))=x$. Agora derivamos dois lados da equação e pela regra de cadeia temos $g^{'}(f(x)) f^{'}(x) = 1.$ 
 +Portanto $e^{f(x)} f^{'}(x) = 1$ e logo $f^{'}(x) = \frac{1}{e^{ln(x)}} = \frac{1}{x}.$
  
  
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