Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $(x_n)_{n \in \omega}$ uma sequência de $\omega_1$. Admita $\omega_1$ bem ordenado. Pelo exercício 5, sabemos que existe uma subsequência constante, crescente ou decrescente de $(x_n)_{n \in \omega}$. Pelo exercício anterior sabemos que todo subconjunto enumerável de $\omega_1$ é limitado. Além disso, por esse outro exercício, sabemos que todo subconjunto limitado admitirá supremo. Note que $(x_n)_{n \in \omega}$ define um subconjunto enumerável de $\omega_1$, portanto é limitado e admite supremo. Temos 3 casos possíveis:

Caso 1) $(x_n)_{n \in \omega}$ admite subsequência constante. Naturalmente, temos que a subsequência converge para seu elemento constante.

Caso 2) $(x_n)_{n \in \omega}$ admite subsequência crescente. Temos que, por ser enumerável, a sequência é limitada, e portanto possui supremo. Resta mostrar que ela tende para esse $sup$ (que denotaremos por $\alpha$). De fato, seja $]\beta,\alpha]$ uma vizinhança de $\alpha$. Existe $n \in \omega$ tal que $x_n \in ]\beta,\alpha]$ e além disso, para todo $m > n$, $x_m \in ]\beta,\alpha]$. Portanto a subsequência converge para $\alpha$.

Caso 3) Como $\omega_1$ está bem ordenado, $(x_n)_{n \in \omega}$ não pode admitir uma subsequência decrescente devido ao resultado desse exercício.

Portanto toda subsequência de uma sequência de $\omega_1$ é convergente.