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Espaços produtivamente ccc
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que X é produtivamente ccc se $X\times Y$ for ccc para todo espaço topológico $Y$ ccc.
Sejam $(X,\tau)$ um espaço topológico e $n\in\omega$ com $n\geq 2$. Dizemos que $X$ satisfaz a propriedade $K_n$ (de Knaster) se para qualquer família não-enumerável $\mathcal{U}$ de abertos de $X$ existe uma subfamília não-enumerável $\mathcal{U}'\subset\mathcal{U}$ tal que para todo $F\in[\mathcal{U}']^n$ tenha-se $\bigcap F\ne\emptyset$. Se para todo $n\geq 2$ valer $K_n$, diremos que $X$ satisfaz $K_\sigma$.
Neste artigo, os autores denotam por $\mathcal{C}^2$ e $\mathcal{K}_n$, respectivamente, as afirmações:
- $\mathcal{C}^2$: todo espaço ccc é produtivamente ccc;
- $\mathcal{K}_n$: todo espaço ccc satisfaz $K_n$.
Analogamente, denotaremos por
- $\mathcal{K}_\sigma$: todo espaço ccc satisfaz $K_\sigma$.
Com algumas adaptações do roteiro apresentado em Produto de espaços ccc, mostra-se que \[\text{MA}+\neg\text{CH}\Rightarrow \text{MA}_{\aleph_1}\Rightarrow \mathcal{K}_\sigma\Rightarrow \mathcal{K}_n\Rightarrow \mathcal{K}_2\Rightarrow \mathcal{C}^2.\]
As implicações acima sugerem as perguntas (feitas no artigo supracitado):
- $\mathcal{K}_2$ implica $\mathcal{K}_3$? $\mathcal{K}_2$ implica $\text{MA}_{\aleph_1}$?
- $\mathcal{C}^2$ implica $\mathcal{K}_2$? $\mathcal{C}^2$ implica $\text{MA}_{\aleph_1}$?
Sabe-se que assumindo CH, existe um espaço topológico $X$ produtivamente ccc que não satisfaz $K_2$ (ver aqui).
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