Topologia e conjuntos em exercícios

Começamos com alguns resultados úteis de submodelos elementares de $H(\kappa)$:

1 Seja $M\prec H(\kappa)$.

1.1 Mostre que $\omega\in M$ e $\omega\subset M$.

1.2 Mostre que se $a\in M$ e $a$ é enumerável, então $a\subset M$.

1.3 Mostre que se $a \subset M$ e $a$ é finito, então $a\in M$.

2 O objetivo deste exercício é demonstrar o Lema do $\Delta$-sistema. Seja $\mathcal F$ uma família não enumerável de conjuntos finitos.

2.1 Seja $M\prec H(\kappa)$ submodelo elementar enumerável tal que $\mathcal F\in M$. Note que existe $F_0\in \mathcal F\setminus M$.

2.2 Tome $\Delta = M\cap F_0$. Note que $\Delta\in M$ e $\Delta\subset M$.

2.3 Mostre que existe $F_1 \in \mathcal F \cap M$ tal que $\Delta \subset F_1$.

2.4 Note que $F_1 \cap F_0 = \Delta$.

2.5 Suponha que não exista uma subfamília não enumerável que forma um $\Delta$-sistema de raíz $\Delta$. Mostre que existe $\mathcal F'$ subfamília maximal enumerável infinita com tal propriedade. Dica

2.6 Note que podemos assumir que $\mathcal F'\in M$ e, portanto, $\mathcal F'\subset M$.

2.7 Mostre que para qualquer $F\in \mathcal F'$, $F\cap F_0=\Delta$. Conclua que $\mathcal F'$ não é maximal, uma contradição.

2.8 (Lema do $\Delta$-sistema) Conclua que toda família não enumerável de conjuntos finitos possui uma subfamília não enumerável que forma um $\Delta$-sistema.

3 Mostre que existe uma boa cadeia elementar de submodelos elementares enumeráveis de $H(\kappa)$.

4 Mostre que se $\{M_\xi:\xi<\omega_1\}$ é uma boa cadeia elementar de submodelos enumeráveis de $H(\kappa)$, então $\mathcal{P}(M_\xi)\in M_{\xi+1}$ para todo $\xi<\omega_1$.

5 Sejam $M, N\prec H(\kappa)$ enumeráveis tais que $M\subset N$ e $M\in N$.

5.1 Mostre que $M\cap\omega_1\in\omega_1$.

5.2 Mostre que $M\cap\omega_1\in N$.

5.3 Conclua que existe um ordinal $\alpha\in\omega_1$ tal que $\alpha\in N\setminus M$.

6 Mostre que se $\{M_\xi:\xi<\omega_1\}$ é uma boa cadeia elementar de submodelos elementares enumeráveis de $H(\kappa)$, então $\omega_1\subset \bigcup_{\xi<\omega_1}M_\xi$.

7 Este é um roteiro para mostrar a existência de um submodelo elementar de tamanho contínuo.

7.1 Fixe $M_0$ submodelo elementar tal que $|M_0| \leq \mathfrak c$.

7.2 Para cada $\alpha < \omega_1$, se $\alpha = \beta + 1$, considere $M_{\alpha}$ como um submodelo elementar que contenha $M_\beta \cup [M_\beta]^\omega$. Se $\alpha$ é limite, considere $M_\alpha = \bigcup_{\xi < \alpha} M_\xi$. Note que em ambos os casos temos $|M_\alpha| \leq \mathfrak c$ e que $M_\xi \preceq M_\alpha$ se $\xi < \alpha$.

7.3 Mostre que $M = \bigcup_{\alpha < \omega_1} M_\alpha$ é enumeravelmente fechado e de cardinalidade $\mathfrak c$.

8 Seja $\{M_\xi:\xi<\omega_1\}$ uma boa cadeia elementar de submodelos enumeráveis de $H(\kappa)$ e $E\subset M=\bigcup_{\xi<\omega_1}M_\xi$ enumerável. Vamos assumir CH neste exercício, isto é, que $2^\omega=\omega_1$.

8.1 Note que $E\subset M_\alpha$ para algum $\alpha<\omega_1$.

8.2 Mostre que existe uma função $g\colon \omega_1\to\mathcal P(M_\alpha)$ sobrejetora tal que $g\in M_{\alpha+1}$.

8.3 Conclua que $E\in M$ e, portanto, $M$ é enumeravelmente fechado.

9 Este é um roteiro para mostrar o resultado que todo espaço compacto de Hausdorff com bases locais enumeráveis tem cardinalidade no máximo $\mathfrak c$. Fixe $X$ com tais hipóteses e seja $M$ submodelo elementar enumeravelmente fechado tal que $|M| = \mathfrak c$ e que contenha o que for necessário (é um bom exercício no final verificar o que exatamente foi necessário).

9.1 Suponha $x \in X \setminus M$ tal que $x \in \overline{M \cap X}$. Mostre que existe $(x_n)_{n \in \omega}$ sequência de elementos de $X \cap M$ que é um elemento de $M$ e que $x_n \rightarrow x$.

9.2 Note que a afirmação da sequência $(x_n)_{n \in \omega}$ ser convergente é verdade em $M$. Conclua que existe $y \in M$ tal que $x_n \rightarrow y$.

9.3 Mostre que $x = y$.

9.4 Conclua que $X \cap M$ é fechado (e, portanto, compacto).

9.5 Dado $x \in X \cap M$, mostre que existe $\mathcal V \in M$ base local enumerável para $x$. Conclua que $\mathcal V \subset M$.

9.6 Suponha que exista $z \in X \setminus M$. Construa uma cobertura aberta para $X \cap M$ feita por elementos de $M$ que não contenham $z$ (a cobertura em si não precisa ser elemento de $M$).

9.7 Por compacidade, existe subcobertura $\mathcal C$ da cobertura acima. Conclua que $\mathcal C \in M$.

9.8 Obtenha uma contradição a partir do item anterior. Conclua que não existe tal $z$. Isto é, $X \subset M$ e, portanto, temos o resultado.

10 Refaça o roteiro anterior notando onde você usa cada uma das seguintes hipóteses: Hausdorff, compacidade, base enumerável local e $M$ ser enumeravelmente fechado. Com adaptações simples, algumas dessas hipóteses podem ser enfraquecidas. Consegue exibir alguma?

11 Seja $I$ não enumerável, $f\colon [I]^2\to 2$ e considere $\mathbb P_0\times \mathbb P_1$ com a ordem usual induzida no produto. Mostre que $\mathcal A = \{(\{a\}, \{a\}): a\in I\}$ é uma anticadeia e conclua que $\mathbb P_0\times \mathbb P_1$ não é ccc.

12 Suponha que, para uma dada $f\colon [\omega_1]^2\to 2$, $\mathbb P_i$ não é ccc. Mostre que $\mathbb P_i$ contém uma anticadeia não enumerável de elementos dois a dois disjuntos. Dica

13 Seja $\{M_\xi: \xi<\omega_1\}$ uma boa cadeia elementar de submodelos elementares enumeráveis de $H(\kappa)$. Construiremos neste exercício uma sequência de funções $(g_\xi:\xi<\omega_1)$ de modo que $g_\xi\colon \xi\to 2$ e:

1. $g_\xi\in M_{\xi+1}$;
2. se $E\in M_\xi$ é um conjunto enumerável infinito de subconjuntos finitos de $\xi$ dois a dois disjuntos, então existem infinitos $X\in E$ tais que

\[\forall\alpha\in X, g_\xi(\alpha)=i,\] para $i=0,1$.

13.1 Note que a condição 2 é trivialmente satisfeita quando $\xi$ é finito.

13.2 Note que fixado $\xi$ infinito, podemos enumerar a coleção dos conjuntos $E$'s de $M_\xi$ relevantes para a condição 2 como $\{E_n:n\in\omega\}$ de modo que, para cada $E$, $\{m\in\omega: E_m=E\}$ possui infinitos ímpares e infinitos pares.

13.3 Note que podemos escolher recursivamente uma família $\{X_n:n\in\omega\}$ de forma que

• $X_i\in E_i$
• $X_i\cap X_j=\emptyset$, se $j<i$.

13.4 Dado $\alpha<\xi$, defina \[g_\xi(\alpha)= 0 \text{ se $\alpha\in X_n$ e $n$ é par}\] \[g_\xi(\alpha)=1 \text{ caso contrário } \] Mostre que $g_\xi$ está bem definida e satisfaz as propriedades desejadas.

14 Seja $f\colon [\omega_1]^2\to 2$ dada por \[f(\{\alpha,\beta\})=g_\alpha(\beta), \alpha>\beta,\] onde $(g_\xi:\xi<\omega_1)$ é a sequência obtida no exercício anterior. Assumindo CH, mostre que $\mathbb P_i$ é ccc. Dica

15 Mostre que CH implica que existem $\mathbb P$ e $\mathbb Q$ ccc tais que $\mathbb P\times\mathbb Q$ não é ccc.