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Teorema da imersão
Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de produtos infinitos.
Seja $(X_\alpha, \tau_\alpha)_{\alpha \in A}$ uma família de espaços topológicos e seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Seja $(f_\alpha)_{\alpha \in A}$ uma família de funções da forma $f_\alpha: X \rightarrow X_\alpha$. Definimos a função diagonal desta família a função $\Delta_{\alpha \in A} f_\alpha: X \rightarrow \prod_{\alpha} X_\alpha$ a função dada por $$\Delta_{\alpha \in A} f_\alpha(x) = (f_\alpha(x))_{\alpha \in A}$$
1 Mostre que se cada $f_\alpha$ é contínua, então $\Delta_{\alpha \in A}f_\alpha$ é contínua.
Dizemos que uma função $f: X \rightarrow Y$ é uma imersão se $f$ é um homeomorfismo sobre sua imagem. Neste caso, dizemos que $f[X]$ é uma cópia de $X$.
Seja $\mathcal F = (f_\alpha)_{\alpha \in A}$ uma família de funções da forma $f_\alpha: X \rightarrow X_\alpha$. Dizemos que $\mathcal F$ separa pontos se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos, existe $\alpha \in A$ tal que $f_\alpha(x) \neq f_\alpha(y)$. Dizemos que $\mathcal F$ separa pontos de fechados para todo $x \in X$ e $F \subset X$ fechado tais que $x \notin F$, temos que existe $\alpha \in A$ tal que $f_\alpha(x) \notin \overline{f_\alpha[F]}$.
2 (Teorema da imersão) Seja $\mathcal F = (f_\alpha)_{\alpha \in A}$ família de funções contínuas da forma $f: X \rightarrow X_\alpha$.
2.1 Mostre que, se $\mathcal F$ separa pontos, então $\Delta_{\alpha \in A} f_\alpha$ é injetora. Solução
2.2 Mostre que, se além de separar pontos, $\mathcal F$ separa pontos de fechados, então $\Delta_{\alpha} f_\alpha$ é uma imersão. Solução
3 Mostre que, se $X$ é completamente regular, então a família $\mathcal F$ de todas as funções contínuas da forma $f: X \rightarrow [0, 1]$, é uma família que separa pontos e separa pontos de fechados.
4 Mostre que um espaço $X$ é completamente regular se, e somente se, $X$ é homeomorfo a algum subespaço de um espaço da forma $\prod_{\alpha \in A} [0, 1]$.
5 Mostre que um espaço $X$ é completamente regular se, e somente se, existe $K$ compacto de Hausdorff tal que $X$ é homeomorfo a um subespaço de $K$.
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