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Ordem Densa
Seja $(X, \leq)$ um conjunto ordenado. Dizemos que $\leq$ é uma ordem densa se , para todos $a,b \in X$ tais que $a < b$, temos que existe $c \in X$ satisfazendo $a < c < b$.
Mediante essa definição, observemos que $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ possuem a ordem usual como densa enquanto $\mathbb N$ e $\mathbb Z$ não. Nesta lista, discutiremos se existem outras ordens densas que também satisfazem propriedades específicas desses dois conjuntos numéricos.
1 Sejam $\{a_0,a_1,a_2,a_3,\dots,a_n,a_{n+1}\}$ um conjunto totalmente ordenado (isto é, munido de uma ordem total) e $Y$ um conjunto munido de ordem densa, sem maior e nem menor elemento. Sabendo que existe $f : \{a_0,a_1,a_2,a_3,\dots,a_{n}\} \to Y$ uma função injetora que preserva a ordem, mostre que é possível estender $f$ para $a_{n+1}$ também preservando a ordem. Isto é, mostre que existe $f' : \{a_0,a_1,a_2,a_3,\dots,a_n,a_{n+1}\} \to Y$ uma função injetora que coincide com $f$ quando restrita a $\{a_0,a_1,a_2,a_3,\dots,a_{n}\}$ e que preserva a ordem de $a_{n+1}$ com relação aos demais elementos $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n$. DicaSolução
Dados dois conjuntos $X,Y$ totalmente ordenados, dizemos que eles são isomorfos com relação a ordem se existe $f : X \to Y$ uma função bijetora que preserva a ordem.
2 Seja $X$ um conjunto enumerável munido de uma ordem total. Assim, mostre que $X$ é isomorfo (com relação a ordem) a algum subconjunto dos números racionais. DicaSolução
3 Seja $X$ um conjunto enumerável munido de uma ordem densa, sem maior e nem menor elemento. Seguiremos uma roteiro para concluir que esse conjunto é isomorfo (com relação à ordem) aos números racionais. Para isso, definiremos passo a passo nossa bijeção $f : X \to \mathbb{Q}$:
3.1 Escrevendo $X = \{a_0,a_1,a_2,a_3,\dots\}$, escolha $q_0 \in \mathbb{Q}$ e fixe $f(a_0) = q_0$. Mostre que é possível estender $f$ injetivamente para $a_1$ preservando a ordem com $a_0$. Solução
3.2 Seja $q_k \in \mathbb{Q}$ a imagem de $a_1$, de modo que, ao final da construção, devemos ter $f^{-1}(q_k) = a_1$. Escolha $j = \min\{n \in \mathbb{N} \mid n \neq 0, n \neq k\}$. Mostre que é possível estender $f^{-1}: \{q_0,q_k\} \to X$ para $q_j$ de forma injetiva e preservando a ordem. Solução
3.3 Seja $a_i$ a imagem de $q_j$ por $f^{-1}$. Ao final da construção, devemos ter $f(a_i) = q_j$. Ou seja, ao estendermos $f^{-1}$ para $q_j$, estendemos também o domínio de $f$ para $a_i$. Realize alternadamente essa extensão entre $f$ e $f^{-1}$ (de maneira injetiva e preservando a ordem) até que todos os números racionais sejam imagem de algum elemento de $X$. Conclua também que $f$ será um isomorfismo de ordem. Solução
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