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Nomes
É melhor você fazer essa lista antes desta.
Nesta lista vamos definir nomes. Eles serão úteis para se definir o valor booleano de fórmulas. No decorrer desta lista, $B$ é sempre uma álgebra booleana completa fixada.
Definimos por indução nos ordinais:
- $V_0^B = \emptyset$
- $V_{\alpha + 1}^B = \{\sigma| \sigma$ é uma função tal que dom$\sigma \subset V_\alpha^B$ e imagem em $B\}$
- $V_\alpha^B = \bigcup_{\beta < \alpha}V_\beta^B$ se $\alpha$ é limite.
Chamamos de nome cada elemento de algum $V_\alpha^B$. Dado $\sigma$ nome, chamamos de rank de $\sigma$ o menor $\alpha$ tal que $\sigma \in V_\alpha^B$.
1 Note que $\emptyset$ é um nome.
2 Note que $\{(\emptyset, 1)\}$ é um nome.
3 Mostre que $\sigma$ é um nome se, e somente se, $\sigma$ é uma função cujo domínio é um conjunto de nomes e a imagem está contida em $B$.
Pense num nome como uma “descrição probabilística” de um conjunto: $\sigma(\rho)$ indica qual a probabilidade do elemento descrito por $\rho$ pertencer a $\sigma$. Se $\sigma(\rho) = 0$, $\rho$ não está em $\sigma$. Já se $\sigma(\rho) = 1$, é certeza que $\rho$ pertence a $\sigma$.
Seja $x$ um conjunto. Definimos $\check x$ o nome tal que dom$(\check x) = \{\check y: y \in x\}$ e, para cada $y \in x$, $\check x(\check y) = 1$.
4 Determine $\check \emptyset$.
5 Determine $\check x$, onde $x = \{\emptyset\}$.
6 Determine $\check x$, onde $x = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$.
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