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Forcing enumeravelmente fechado e a consistência de CH
Dizemos que um forcing $\mathbb P$ é enumeravelmente fechado se, dada uma sequência $\langle p_{n} : n\in\omega\rangle$ de elementos de $\mathbb P$ tal que $p_{n+1}\leq p_{n}$ para todo $n\in\omega$, existe $p\in\mathbb P$ tal que $p\leq p_{n}$ para todo $n\in\omega$.
1 Este é um roteiro para mostrar que se $\mathbb P$ é um forcing enumeravelmente fechado, $A$ um conjunto e $\dot{f}$ nome tal que $p \Vdash \dot{f} : \check{\omega}\to\check{A}$ para algum $p\in\mathbb P$. Então existem $f:\omega\to A$ e $q\leq p$ tais que $q \Vdash \check{f} = \dot{f}$.
1.1 Mostre que existe $p^{´}\in\mathbb P$, $p^{´}\leq p$ tal que $p^{´}\Vdash \dot{f}(0)=\check{a_{0}}$.
1.2 Indutivamente construa $\langle p_{n} : n\in\omega\rangle$ e $\langle a_{n} : n\in\omega\rangle$ de forma que $p_{n+1}\leq p_{n}$ e $p_{n+1}\Vdash \dot{f}(n+1)=\check{a}_{n+1}$.
1.3 Considere $f:\omega\to A$, definida por $f(n)=a_{n}$. Note que existe $q\in\mathbb P$ tal que $q\leq p_{n}$ para todo $n\in\omega$.
1.4 Conclua o resultado.
2 Este é um roteiro para mostrar que se $\mathbb P$ é um forcing enumeravelmente fechado, $A$ e $B$ são conjuntos, sendo $A$ enumerável e $\dot{f}$ nome tal que $p\Vdash \dot{f}:\check{A}\to\check{B}$ para algum $p\in\mathbb{P}$. Então existem $f:A\to B$ e $q\leq p$ tais que $q \Vdash \check{f}=\dot{f}$.
2.1 Considere $g:\omega\to A$ bijeção e defina $\dot{h}=\dot{f}\circ\check{g}:\check{\omega}\to\check{B}$.
2.2 Note que $p\Vdash \dot{h}:\check \omega\to\check{B}$.
2.3 Conclua o resultado.
3 Queremos mostrar neste exercício que se $\mathbb P$ é um forcing enumeravelmente fechado. Então $1\Vdash \check{2^{\omega}}=\dot{2^{\omega}}$.
3.1 Mostre que o conjunto $D=\{q\in\mathbb{P}:q\Vdash\check{2^{\omega}}=\dot{2^{\omega}}\}$ é denso abaixo de $1$.Dica
3.2 Conclua o resultado.
4 Mostre que se $\mathbb P$ é um forcing enumeravelmente fechado, $A$ um conjunto e $\dot{X}$ um nome tal que, para algum $p\in\mathbb P$, $p\Vdash \dot{X}\subseteq\check{A}$ é enumerável, então existem $X\subseteq A$ e $q\leq p$ tais que $q\Vdash \dot{X}=\check{X}$.
5 Este é um roteiro para mostrar que se $\mathbb P$ é um forcing enumeravelmente fechado, então $1\Vdash \dot{\omega_{1}}=\check{\omega_{1}}$.
5.1 Note que $1\Vdash \check{\omega_{1}}\leq\dot{\omega_{1}}$.
5.2 Suponha que $1\not\Vdash \check{\omega_{1}}$ não é enumerável. Mostre que existem $p\in\mathbb P$ e $\dot{f}$ nome tal que $p\Vdash\dot{f}:\check{\omega}\to\check{\omega_1} $ é sobrejetora.
5.3 Note que o item anterior é um absurdo.
5.4 Conclua o resultado.
Vamos exibir um forcing que dá a consistência de $CH$.
6 Este é um roteiro para mostrar que existe um forcing $\mathbb P$ tal $1\Vdash CH$.
6.1 Considere $\mathbb P$ o seguinte conjunto $\{ p\subseteq \omega_{1}\times\omega\times 2 : \textrm{p é função com domínio enumerável contido em}\hspace{0.1cm} \omega_{1}\times\omega \} $. Ordene $\mathbb P$ pela extensão usual de funções, isto é, $p\leq q$ se e somente se $p\supseteq q$. Mostre que $\mathbb P$ é um forcing enumeravelmente fechado. Logo $1\Vdash \check{\omega_{1}} = \dot{\omega_{1}} \wedge \check{2^{\omega}}=\dot{2^{\omega}}\ $
6.2 Dada $f\in 2^{\omega}$. Mostre que $D_{f}=\{p\in\mathbb P : \exists \alpha\in\omega_{1}, p(\alpha, . )=f \}$ é denso em $\mathbb P$.
6.3 Mostre que existe $\dot{\varphi}$ nome tal que $1\Vdash \dot{\varphi}:\check{\omega_{1}}\times\check \omega\to 2$.
6.4 Note que para cada $f\in 2^{\omega}$, tem-se que $1\Vdash \exists\alpha\in\check{\omega_{1}}\hspace{0.3cm} \dot \varphi(\alpha,.)=\check{f}$. Conclua que $1\Vdash \check{2^{\omega}}=\check{\omega_{1}}$.
6.5 Conclua o resultado.
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