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Lema de Kuratowski-Zorn (usando)
O enunciado do Lema de Kuratowski-Zorn é equivalente ao princípio da boa ordem - para ver sobre isso, veja esta lista.
Seja $X$ um conjunto ordenado por $\leq$.
- $x \in X$ é um majorante para $Y \subset X$ se, para todo $y \in Y$ temos $y \leq X$;
- $C \subset X$ é uma cadeia se todos os elementos de $C$ são comparáveis entre si;
- $x \in X$ é maximal se não existe $y \in X$ tal que $x < y$.
O Lema do Kuratowski-Zorn é: Se $X$ é um conjunto ordenado não vazio tal que toda cadeia admite majorante, então $X$ admite elemento maximal.
1 Seja $X$ um conjunto infinito. Considere $F$ o conjunto de todas as funções injetoras com domínio finito contido em $\omega$ e contradomínio $X$. Dizemos que $f, g \in F$ são compatíveis se $f \cup g \in P$ (se esse isso é confuso para você, veja essa lista). Seja $P$ a família de todos os subconjuntos de $F$ formados por funções compatíveis entre si. Isto é $P = \{A \subset F: \forall f, g \in A$ $f$ e $g$ são compatíveis$\}$. Considere sobre $P$ a ordem da inclusão.
1.1 Note que $P \neq \empyset$.
1.2 Mostre que se $A$ é um elemento de $P$, então $\bigcup_{f \in A} f$ é uma função injetora de domínio contido em $\omega$ e contradomínio $X$.
1.3 Mostre que se $A$ é um elemento maximal em $P$, então o domínio de $\bigcup_{f \in A} f$ é $\omega$.
1.4 Dizemos que $f, g \in F$ são compatíveis se $f \cup g \in F$
1.5 Mostre que se $C \subset F$ é formado por funções duas a duas compatíveis, então $\bigcup_{f \in C} f \in F$.
1.6 Mostre que se $C \subset F$ é totalmente ordenado, então $\bigcup_{f \in C} f \in F$.
1.7 Seja $C \subset F$ uma família de funções duas a duas compatíveis. Mostre que existe $f: X \to Y$ que estende todos os elementos de $C$.
Um dos axiomas que supomos sobre conjuntos é o princípio da boa ordem: todo conjunto admite uma boa ordem.
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