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Convergência Pontual e Uniforme, continuidade de limite de funções

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Teorema de Dini, Troca de limite com integral

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No video na demonstração de troca de integral com limite, tem um “typo”. Abaixo temos a correção:

Teorema: Seja $f_n: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ uma sequância de funções integráveis convergindo uniformemente a $f.$ Então $f$ é integrável e $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx. $$

Demonstração: Dado $\epsilon > 0$ existe $n_0$ tal que para $n > n_0$ temos $|f_n(x) - f(x)| \leq \frac{\epsilon}{4 (b-a)} $ para todo $x \in [a, b].$

Fixamos $m > n_0$. Como $f_m$ é integrável existe uma partição $\mathcal{P}$ tal que se denotarmos de $\omega_i, \omega_i^{'}$ a oscilação de $f$ e $f_m$ no intervalo $[t_{i-1}, t_i$