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A derivada de uma função $f: U \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ quando existir é uma função $$ Df : U \rightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^m). $$ Portanto se $Df$ for diferenciável dizemos que $f$ é duas vezes diferenciável e $$ D^2f : U \rightarrow \mathcal{L} (\mathbb{R}^n, \mathcal{L}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^m)). $$

Ou seja para cada ponto $p \in U$ a segunda derivada é uma transformação linear de $\mathbb{R}^n$ em $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^m).$ Podemos olhar a essa transformação linear como uma transformação bilinear também: $$ D^2f_p (v, w) := (D^2f_p (v))(w). $$

Lembramos que se $f: U \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função real e diferenciável então $$ Df_p(e_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(p) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(p+te_i) - f(p)}{t}.$$

Teorema: Seja $f: U \rightarrow \mathbb{R}^m$, $f= (f_1, \cdots, f_m)$ duas vezes diferenciável então $f_k$ são duas vezes diferenciáveis e além disto: $$ D^2f_p (e_i, e_j) = \frac{\partial^2 f}{ \partial x_i \partial x_j}(p). $$

Teorema: A segunda derivada quando existir é simetrica, i.e $D^f_p(v, w) = D^f_p(w, v)$ e em particular as derivadas parciais comutam:

$$ \frac{\partial^2 f}{ \partial x_i \partial x_j}(p)= \frac{\partial^2 f}{ \partial x_j \partial x_i}(p) $$

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