Seja $R$ um anel com unidade e que exista $n \in \mathbb{N}$ tal que para todo $k \in \{n, n+1, n+2\}$ e todo $x, y \in R$: $(xy)^k = x^k y^k.$ Mostre que $R$ é um anel comutativo.

Sejam $0 < x_n <1$ e que $\sum_{n=1}^{\infty} n x_n < + \infty.$ Demonstre que $$ \sum_{n=1}^{\infty} x_n \log(\frac{1}{x_n}) <+ \infty. $$