Por quê o conjunto não mensurável apresentado (conjunto Vitali) tem medida exterior positiva?
Basta lembrar que $$[0, 1] \subset \bigcup_{q \in \mathbb{Q} \cap [0, 1]} E +q$$ e que a medida exterior é subaditiva e tem monotonicidade.
Observe que apesar de que $E$ tem medida exterior positiva, sempre podemos construir um conjunto não mensurável $E$ com medida exterior tão pequena que desejar. Lembrem que a construção de $E$ depende da escolha de representantes de cada classe de equivalência de $\mathbb{R}/\mathbb{Q}.$
Como construir sequência decrescente $F_n$ tal que medida exterior do limite seja inferior a limite das medidas exteriores.
Basta tomar $E_i := E + q_i$ onde $E$ é o conjunto Vitali não mensurável e $q_i$ número racional em $[0, 1].$ Agora defina $F_n:= \bigcup_{i \geq n} E_i $ e já que $E_i$'s são disjuntos temos que $\cap F_n = \emptyset$ e por outro lado $m^*(F_n) \geq m^*(E) > 0.$ Portanto $$ m^*(\cap F_n) = m^*(\emptyset) = 0 < m^*(E) \leq \lim m^*(F_n) $$
A projeção de um conjunto mensurável em $\mathbb{R}^2$ pode não ser mensurável em $\mathbb{R}$. Basta considerar $E \times \{1\}$ que tem medida exterior nula em dimensão dois e sua projeção é conjunto de Vitali que não é mensurável em $\mathbb{R}.$