1. Exercício: 1.4.48 livro Tao

2. Mostre que as duas seguintes definições são equivalentes:

• $f_n \rightarrow f$ em medida se para todo $\epsilon > 0$, $\mu(\{x, |f_n(x)-f(x)| \geq \epsilon\}) \rightarrow 0$.
• $f_n \rightarrow f$ em medida se para todo $\epsilon > 0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N$, $\mu(\{x, |f_n(x)-f(x)| \geq \epsilon\}) \leq \epsilon.$

3. Prove seguinte versão de Teorema Egoroff: Sejam $f_n$ funções mensuráveis e que $f_n \rightarrow f$ , q.t.p e suponhamos que existem $g \in L^1(\mu)$ tal que $|f_n| \leq g$ para todo $n.$ Então para todo $\epsilon > 0$ existe um conjunto $R, m(R) \leq \epsilon$ tal que $f_n$ converge uniformemente no complementar de $R.$ Observe que não estamos asumindo que $m(X) < \infty$ como provamos na aula.

4. Suponhamos que $|f_n| \leq g \in L^1$ e que $f_n \rightarrow f$ em medida. Então demonstre que

• $\int f = \lim \int f_n$
• $f_n \rightarrow f$ em $L^1.$

5. Sabemos que se $\nu$ é medida finita com sinal e $\mu$ uma medida positiva em $(X, \mathcal{B})$ Então $\nu < \mu$ se somente se para qualquer $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que se $\mu(B) < \delta$ então $|\nu(B)| \leq \epsilon$. Mostre que isto não é verdade sem assumir que $\nu$ é finita. (Considere $d\nu = dx/x$ e $\mu=dx$ no intervalo $(0, 1).$)

6. Seja $(X, \mathcal{B}, \mu)$ um espaço com medida $\sigma-$finita. Seja $\mathcal{C}$ uma sub-$\sigma$ algebra de $\mathcal{B}$ e $\nu:=\mu|_{\mathcal{C}}.$ Se $f \in L^1(\mu)$, mostre que existe $g \in L^1(\nu)$ (e portanto $\mathcal{C}$ mensurável) tal que $\int_{C} f d\mu = \int_C g dv$ para todo $C \in C.$ Mostre que $g$ é única q.t.p. A função $g$ é conhecida como esperança condicional de $f.$

Resolver Exercícios: 1.3.9, 1.3.13, 1.3.18, 1.3.23, 1.3.25,

Resolver exercícios 1.2.18, 1.2.19, 1.3.3 (Vi, Vii), 1.3.4 e 1.3.6 do livro Tao.

1. Mostre que se $E \subset \mathbb{R}^d$ é Jordan mensurável então $$m(E) = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N^d} \sharp \{E \cap \frac{\mathbb{Z}^d}{N}\}$$

2. Para todo conjunto Lebesgue mensurável $E$ existe algum conjunto $F$ na $\sigma$-algebra de Borel com tal que $m^*(E \Delta F) = 0.$

3. Seja $E \subset \mathbb{R}^d$. Mostre que os seguintes itens são equivalentes:

• $E$ é mensurável, i.e para todo $\epsilon > 0$ existe aberto $U$ tal que $m^*(U \setminus E) \leq \epsilon.$
• Para todo $\epsilon > 0$ existe $U$ aberto tal que $m^*(U \setminus E) \leq \epsilon.$
• Para todo $\epsilon > 0$ existe fechado $F$ tal que $m^*(E \setminus F) \leq \epsilon.$
• Para todo $\epsilon > 0$ existe $F \subset E$ fechado tal que $m^*(E \setminus F) \leq \epsilon.$
• Para todo $\epsilon > 0$ existe um conjunto Lebesgue mensurável $E_{\epsilon}$ tal que $m^*(E \setminus E_{\epsilon}) \leq \epsilon.$

4. Exercício 1.2.5 do livro de T. Tao.

5. Usando definições mostre que o conjunto de Cantor ternário tem medida exterior de Lebesgue zero.