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Teorema da Função implicita:

Seja $f: U \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m$. Suponhamos que $f(x_0, y_0) = z_0$ para algum $(x_0, y_0) \in U$. Se $f$ for $C^r, 1 \leq r \leq \infty$ e $B = [\frac{\partial f_i (x_0, y_0)}{\partial y_j}]$ é inversível então existe uma (única) função $C^r$ $g : V \rightarrow \mathbb{R}^m$ tal que $f(x, g(x)) = z_0$ para todo $x \in V$ onde $V \subset \mathbb{R}^n$ é uma vizinhança de $x_0.$

A hipótese $C^1$ não é necessária para obter uma solução $g$. De fato basta assumir (External Link):

• $f(x , .)$ é contínua para todo $x$
• $f$ é diferenciável em $(x_0, y_0)$ (Apenas neste ponto!)
• $det [\frac{\partial f_i (x_0, y_0)}{\partial y_j}] \neq 0$

e ai temos uma função $g$ como no teorema de função implicita (não afirmamos única solução $g$) e $$ Dg_{x_0} = - \partial_y f^{-1} (x_0, y_0) \circ \partial_x f(x_0, y_0). $$

Considere \[ f(x,y) = \begin{cases} x+y, &\text{se} \, x+y \neq 0; \\ x^2+y^2, & \text{outros casos} \end{cases} \]

Podemos verificar que $f(x, .) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ não é contínua em $0$ para $x \neq 0$. Apesar de $f$ ser diferenciável em $(0, 0)$, ($Df_{(0, 0)} = [1 , 1]$) este ponto é o único ponto tal que $f(x, y) = 0$ e portanto não existe função $g$ como afirmada no teorema.

Considere $f(x, y) = x -g(y) $ onde \[ g(y) = \begin{cases} \frac{y}{2} + y^2 sin(\frac{1}{y}), &\text{se} \, y \neq 0; \\ 0, & \text{y=0} \end{cases} \]

Então podemos verificar que existem duas funções $f(x, g(x)) =0$. Observe que uma destas funções é identicamente nula $g = 0.$ Porém podemos ver que $g$ é crescente e inversível em torno de zero.

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