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1. Seja $f: U \rightarrow \mathbb{R}^m$ diferenciável e $[p,q] \subset U \subset \mathbb{R}^n$ um segmento. Queremos verificar se o teorema de valor médio unidimensional vale em dimensão mais alta: Existe $\theta \in [p, q]$ tal que $$ f(q)-f(p) = Df_{\theta} (q-p). (*)$$

• Seja $n=1, m=2$ e considere $f(t)=(cos(t), sen(t)), t \in [\pi, 2\pi].$ Seja $p=\pi, q =2\pi.$ Mostre que não existe $\theta$ satisfazendo (*)
• Assumimos que o conjunto de todas as derivadas $$\{Df_x \in \mathcal{\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n}: x \in [p, q]\}$$ é um conjunto convexo. Então prove que existe $\theta \in [p, q]$ satisfazendo (*).

2. Considere $$ S = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$