This is an old revision of the document!

---

1. Sejam $f_n: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ e $f_n$ convergir uniformemente a $f.$ Quais das seguintes propriedades de descontinuidade passa de $f_n$ para $f$. Dê exemplo ou prove.

a. Não ter descontinuidade. isto é: Se $f_n$ não ter nenhum ponto de descontinuidade então $f$ também não tem ponto de descontinuidade.

b. No máximo 10 pontos de descontinuidades.

c. Pelo menos 10 pontos de descontinuidades.

d. Ter uma quantidade enumerável de descontinuidades.

2. Seja $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ contínua e $f_n(x) = f(nx)$ equicontínua. O que podemos dizer sobre função $f$?

3. Uma função contínua e, estritamente crescente $\mu: (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$ é chamado módulo de continuidade se $\mu(s) \rightarrow 0$ se $s \rightarrow 0.$ Uma função $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ tem módulo de continuidade $\mu$ se $$ |f(t) -f(s)| \leq \mu(|t-s|). $$

a. Prove que $f$ é uniformemente contínua se somente se ela tem módulo de continuidade.

b. Prove que uma família de funções é equicontínua se somente se todos os membros tem o mesmo módulo de continuidade.

4. Seja $(g_n)$ uma sequência de funções duas vezes diferenciáveis definidas no intervalo $[0,1].$ Suponhamos que para todo $n, g_n(0) = g_n^{'}(0)$ e que para todo $x \in [0, 1], |g_n^{'}(x)| \leq 1.$ Prove que existe uma subsequência de $g_n$ convergindo uniformemente.

5. Seja $k \geq 0$ um número inteiro e definimos $f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $$ f_n(x) = \frac{x^k}{x^2 + n}. $$ Para quais valores de $k$ a sequência converge uniformemente em $\mathbb{R}?$

6. Dê exemplo de uma série de potências $\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ com raio de convergância $R=1$ tal que a série converge em $x=1$ e nõa converge em $x=-1.$