Para falar dos conjuntos de Julia e Fatou, precisamos de alguns conceitos de análise:

Uma família $\mathcal{F}$ de funções entre espaços métricos $(X,d) \to (Y,d')$ é dita equicontínua em $x_0 \in X$ quando para todo $\epsilon >0$ existe $\delta>0$ tal que: \[ \text{Para toda $f \in \mathcal{F}$ vale: }d(x_0,x) < \delta \implies d'(f(x_0),f(x))< \epsilon \]

Dada uma sequência $(f_n)_n$ de funções com $f_n : X \to Y$, dizemos que a sequência converge localmente uniformemente quando para cada $z_0 \in U$, existe vizinhança $U_{z_0}$ tal que $f_n \to f$ uniformemente nessa vizinhança.

Dizemos que uma família $\mathcal{F}$ de funções $X \to Y$ é normal quando cada sequência infinita $(f_n)_n \subset \mathcal{F}$ contém uma subsequência de funções que converge localmente uniformemente em $X$.

Passando para o conceito de funções complexas:

Seja $f : \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}$ um mapa holomorfo e escrevendo como $\{f^n\}$ a família das suas $n$-iteradas. Definimos o conjunto de Fatou $F$ de $f$ como o conjunto de pontos de $\overline{\mathbb{C}}$ onde a família de iteradas é normal (também chamado de domínio de normalidade de $f$), também denotado por $F(f)$

O Conjunto de Julia $J$ de $f$ é o complemento do conjunto de Fatou, também denotado $J(f)$. Pelas definições, $F$ é aberto e $J$ é compacto.

No caso da função $f$ ser um mapa racional, usando o Teorema de Arzelá-Ascoli, podemos definir esses conjuntos em termos de equicontinuidade da sequência de iteradas: O conjunto de Julia é o aberto onde a família de iteradas é equicontínua.

Em termos mais simples, o conjunto de Fatou são os pontos com vizinhanças onde a sequência de iteradas se comporta bem e o de Julia são os pontos que são sensíveis a pequenas variações.

Exemplo: Considerando o mapa $z \mapsto z^2$, se $|z| < 1$ ou $|z| > 1$ temos que a sequência de iteradas converge para $0$ e $\infty$ respectivamente. Se $|z|=1$ a sequência de iteradas não sai do círculo unitário e tomando vizinhanças de $z$ temos pontos que convergem para 0 e $\infty$. Então, o conjunto de Fatou desse mapa é $\overline{\mathbb{C}} \setminus S^1$.

No caso de $f$ ser um polinômio, podemos definir o conjunto de Julia cheio de f, denotado por $K_f$, como os pontos onde a sequência de iteradas é limitada. No exemplo anterior, o conjunto de Julia cheio é o disco unitário fechado.

Dada uma função $f:X \to X$ e conjunto $A \subset X$, dizemos que $A$ é:

1. Invariante para frente quando $f(A) = A$.
2. Invariante para trás quando $f^{-1}(A) = A$.
3. Completamente invariante se (1) e (2) são válidos.

No caso de mapas racionais, por serem sobrejetivos, invariância para trás e completa são equivalentes: temos $f(f^-1(A))=A$ e se ocorre invariância para trás temos $f(A)=A$.

Proposição 1 (Invariância): Dada $f: \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}$, seus conjuntos de Julia e Fatou são completamente invariantes.

Prova: Para o conjunto de Fatou,dado um aberto $U$, alguma sequência de iteradas $(f^{n_j})_j$ converge uniformemente em compactos de $U$ se , e só se, a sequência $(f^{n_j+1})_j$ converge uniformemente em compactos do aberto $f^{-1}(U)$. A invariância do Julia vem do fato que se $A$ é completamente invariante, seu complemento também será.

Proposição 2 (Iteradas): Dado $n$ um inteiro positivo, vale que $J(f) = J(f^n)$ e $F(f)=F(f^n)$.

Prova: A sequência de iteradas geradas por $f^n$ é da forma $(f^{nm})_m$, então $F(f)\subset F(f^n)$. Por outro lado, se $z \in F(f^n)$, temos vizinhança onde a família é normal, e para cada $k =1,\cdots,p-1$ temos que a sequência de iteradas $f^k \circ f^{n}$ é normal, mostrando a outra inclusão. Por argumento similar ao do teorema anterior, vale o mesmo para o conjunto de Julia.

Proposição 3 (Bacia de atração): A bacia de atração $A$ de uma órbita periódica atratora está contida no conjunto de Fatou. Por outro lado, toda órbita periódica repulsora está no conjunto de Julia.

Prova: Pensando em $z_0$ como o ponto $m$-periódico como ponto fixo de $f^m$, então podemos pensar somente no caso de ser ponto fixo de $f$. O resultado segue fazendo a linearização e estudando o módulo do multiplicador $f'(z_0) = \lambda$ para verificar como as convergências ocorrem.

Proposição 4 (Pontos parabólicos): Todo ponto periódico parabólico pertence ao conjunto de Julia.

Prova: Similar ao caso anterior, usando a expansão local da função no ponto.

Para as próximas propriedades que serão citadas, suas demonstração envolvem o seguinte teorema:

Teorema de Montel: Seja $U \subset \overline{\mathbb{C}}$ e $\mathcal{F}$ uma família de mapas holomorfos $U \to \overline{\mathbb{C}}\setminus\{a,b,c\}$, ou seja, que omitem 3 valores, então a família $\mathcal{F}$ é normal.

Proposição 5: (Transitividade): Se $z_0 \in J(f)$ e seja $W$ uma vizinhança desse ponto. Então, a união das imagens $U = \bigcup_n f^n(W) \supset J(f)$ contém todos menos dois pontos de $\overline{\mathbb{C}}$.

Que possui as seguintes consequências:

Corolário 1 (Julia com interior não vazio): Se o conjunto de Julia possui interior não vazio, então será igual a toda a esfera de Riemann.

Se $z$ é ponto interno, tem vizinhança contida em $J$ e a união das imagens será densa em $\overline{\mathbb{C}}$ e segue de $J$ ser fechado.

Corolário 2 (Preimagens Iteradas são Densas): Se $z_0$ é ponto do conjunto de Julia $J(f)$, então o o conjunto de suas premiagens iteradas: \[\{z \in \overline{\mathbb{C}} : f^n(z) = z_0 \text{ para algum $n$ inteiro positivo}\}\] é denso em $J$.

Que é uma consequencia direta pra proposição 5.

Proposição 6 (Julia não tem pontos isolados): Se f tem grau maior ou igual que 2, então $J(f)$ não tem pontos isolados.

Proposição 7 (Componentes do Julia): Se $f$ tem grau 2 ou mais, $J(f)$ é conexo ou possui componentes conexas não-enumeráveis.

Seja $f:\hat{\mathbb{C}}\rightarrow \hat{\mathbb{C}}$ um mapa racional de grau $d\geq 2$.