Vamos começar com algumas notações clássicas:

Seja $f: U \subseteq \overline{\mathbb{C}}\rightarrow U$ um mapa holomorfo. Um ponto periódico é um ponto $z\in \mathbb{C}$ tal que existe um $k>0$ para o qual vale que $f^k(z)=z$. O menor $k$ tal que vale essa propriedade é chamado de período de $z$. O ciclo de $z$ é o conjunto $\{z_{0},...,z_{k-1}\}$, onde $z_{i}:=f^i(z)$ e o multiplicador desse ciclo é o número $\rho = (f^{k})'(z) = \prod f'(z_{i})$. Ainda, um ponto $z$ é dito pré-periódico se existe um inteiro $l$ tal que $f^{l}(z)$ é periódico.

Seja $U\subset\mathbb{C}$ uma vizinhança de um ponto $z_{0}$ fixo para um mapa analítico $f:U\rightarrow U$. Então, se $|z-z_{0}|$ for suficientemente pequeno, $f(z-z_{0})$ é aproximadamente $f'(z_{0})(z-z_{0})$, de modo que se $|f'(z_{0})| < 1$, então $|f(z-z_{0})|<|z-z_{0}|$; caso tenhamos $|f'(z_0)| > 1$, então vale $|f(z-z_{0})|>|z-z_{0}|$, de modo que podemos fazer a seguinte definição:

Um ciclo é dito atrator (resp. repulsor, indiferente) se $|\rho|<1$ (resp. $|\rho|>1$, $|\rho| = 1$). Um ponto periódico é dito super-atrator se $\rho = 0 $, ou seja, existe um ponto crítico no ciclo.

Veremos agora que o multiplicador de um ciclo periódico é o fator mais importante para determinar o comportamento local da dinâmica.

Se $z$ é um ponto periódico de período $k$, definimos a bacia de atração de $z$ como sendo o conjunto dos pontos $w$ tais que $f^{nk}(w)\rightarrow z$, quando $n\rightarrow \infty$. Chamamos de bacia imediata de atração a componente conexa da bacia de atração que contém o ponto periódico.

No que se segue vamos, sem perda, supor que o ponto fixo é sempre a origem.

Teorema (Koenigs, 1888): Seja $U$ uma vizinhança de $0$ e seja $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ um mapa holomorfo tal que $f(0)=0$ e que $0 < |f'(0)|< 1$. Então, existe uma vizinhança $V\subset U$ de $0$ com $f(V)\subset V$ e um biholomorfismo $\varphi: V\rightarrow \varphi(V)$ com $\varphi'(0)=1$ tal que $\varphi(f(z)) =\rho\varphi(z)$, onde $\rho = f'(0)$, para $z\in V$. Além disso, o germe de $\varphi$ em $0$ é único.

Demonstração: Ponha $g(z) := f(z) -\lambda z$ e observe que existem $r_{1}>0$, um disco $D_{r_{1}}(0)\subset U$ e uma constante $C_{1}>0 $ tais que $|g(z)|\leq C_1|z|^2$, sempre que $|z|\leq r_{1}$. De fato, escrevendo a série de Taylor de $f$ ao redor da origem, temos que $f(z)= \lambda z + O(z^{2})$ de modo que $g(z) = O(z^2)$. Escolhendo agora uma constante $C_{2}$ tal que $C_{2}^{2} < |\lambda|< C_{2} < 1$ e pondo \[ r:= \min\left\{ 1, r_{1}, \frac{C_{2}-|\lambda|}{C_{1}} \right\}, \] teremos que para todo $|z|< r$, vale $|f(z)|\leq |\lambda z| + C_{1}|z|^{2}\leq (|\lambda|+C_{1}r)|z| \leq C_{2}|z|$. Ao iterarmos, obtemos que $|f^{n}(z)|\leq C_{2}^{n}$. Ponha agora $V:=\{z\in\mathbb{C} ; |z| < r\}$ e considere a sequência de mapas analíticos $\varphi_{n}: V \rightarrow \mathbb{C}$ dados por $\varphi_{n}(z) = f^{n}(z)/\lambda^{n}$. Afirmamos que tal sequência converge uniformemente em $V$. Com efeito, \[ \begin{array}{rl} |\varphi_{n+1} - \varphi_{n}| & = \Big| \frac{f^{n+1}(z)}{\lambda^{n+1}} - \frac{f^{n}(z)}{\lambda^{n}}\Big| = \frac{1}{|\lambda|^{n}}\Big|\frac{f(f^{n}(z))}{\lambda} - f^{n}(z) \Big| \\ & = \frac{1}{|\lambda|^{n}}\Big|\frac{f(f^{n}(z)) - \lambda f^{n}(z)}{\lambda}\Big| = \frac{1}{|\lambda|^{n+1}}|g(f^{n}(z))| \\ & \leq \frac{C_{1}|f^{n}(z)|}{{|\lambda|^{n+1}}} \leq \frac{C_{1}}{|\lambda|}\Big(\frac{C_{2}^{2}|z|}{|\lambda|}\Big)^{n} \end{array} \] Uma vez que temos $\frac{C_{2}^{2}|z|}{|\lambda|} < r < 1$, isto nos mostra que a sequencia de mapas acima é uniformemente de Cauchy, e portanto converge uniformemente em $V$. Defina agora $\varphi(z) := \lim_{n\rightarrow \infty}\varphi_{n}(z)$. Observe que $\varphi'(0) = 1$, uma vez que $\varphi(z) = z + O(z)$. Assim, o mapa $\varphi$ resolve a nossa equação funcional do enunciado, pois $$\varphi(f(z)) = \lim_{n\rightarrow \infty}\varphi_{n}(f(z)) = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{n}(f(z))}{\lambda^{n}} = \lambda\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{n+1}(z)}{\lambda^{n+1}} = \lambda \varphi(z)$$ Ou seja, $\varphi(f(z)) = \lambda \varphi(z)$, como queríamos. Resta mostrarmos a unicidade do mapa $\varphi$. Com efeito, seja $\psi: W\rightarrow \psi(W)$ um mapa biholomorfo que conjuga a nossa aplicação $f$. Se denotarmos por $M_{\lambda}$ a multiplicação por $\lambda$, tem-se então que $$M_{\lambda}\circ \psi \circ \varphi^{-1}(z) = \psi \circ f \circ \varphi^{-1}(z) = \psi \circ \varphi^{-1} \circ M_{\lambda}(z)$$ Como estamos trabalhando com germes analíticos, as funções envolvidas possuem inversas funcionais; isto implica que a composição $\psi \circ \varphi^{-1}$ comuta com a multiplicação por $\lambda$, impondo que $\psi'(0)=1$. Segue que $\varphi =\psi$.

Obs: O caso repulsor segue imediatamente aplicando o mesmo argumento ao mapa $f^{-1}$, o qual esta bem definido em uma vizinhança da origem, cujo multiplicador satisfaz $0<|\rho^{-1}|<1$.

Dado o teorema acima, podemos (e queremos) determinar os domínios para o mapa $\varphi$ acima, isto é, podemos obter o maior aberto conexo em que haja a conjugação.

Teorema: Seja $z_{0}$ um ponto fixo atrator para um polinômio $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ e seja $U$ a sua bacia de atração. Então, a sequencia $\{\varphi_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ dada por \[ \varphi_{n}(z) := \frac{f^{n}(z) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}}\] converge uniformemente em compactos de $U$ e o seu limite é um mapa $\varphi:U\rightarrow\mathbb{C}$ que satisfaz $\varphi(f(z)) = f'(z_{0})\varphi(z)$.

Demonstração: Já sabemos que a sequencia $\{\varphi_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ é uma sequencia que converge uniformemente em uma vizinhança $V$ de $z_{0}$, uma vez que a sequencia é a mesma da prova anterior, trocando apenas o ponto fixo. Seja $K\subset U$ um subconjunto compacto. Então existe um inteiro $m$ tal que $f^{m}(K)\subset V$, e portanto para todo $z\in K$ tem-se que $$\lim_{n\to\infty}\frac{f^{n}(z) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{f^{n}(f^{m}(z)) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n+m}} = \frac{1}{f'(z_{0})^{m}}\lim_{n\to\infty}\frac{f^{n}(f^{m}(z)) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}} = \frac{1}{f'(z_{0})^{m}}\varphi(f^{m}(z))$$ Logo, a convergencia é uniforme em compactos. A equação funcional segue trivialmente.

Assim, provamos que a conjugação no caso atrator se estende a toda bácia de atração. No caso repulsor, o teorema de linearização global é um pouco diferente, tendo em vista que não existe um conceito como “bacia repulsora”.

Uma filosofia que se observa desde o inicio da teoria, nos trabalhos de Fatou por exemplo, é que os pontos críticos determinam de maneira importante o comportamento dinâmico dos polinômios. O próximo resultado também nos mostra como críticos se comportam perto de pontos atratores.

Proposição:(Fatou-Julia) A bacia imediata de qualquer ciclo atrator contém pelo menos um ponto crítico.

A ideia é que, se não tivéssemos ponto crítico na bacia imediata de atração, poderíamos estender a inversa do mapa $\varphi$ do teorema anterior a todo o plano, o que culminaria em uma conjugção entre um mapa de grau $d$ e um mapa de grau $1$, concluindo um absurdo.

Nesta seção, iremos observar que a dinâmica de um polinômio em torno de um ponto super-atrator é, embora mais complicada que no caso atrator, ainda razoavelmente simples.

Teorema (Böttcher, 1904): Seja $f(z) = z^{k}(1+g(z))$ um mapa analítico definido em uma vizinhança $U\subset\mathbb{C}$ da origem, com $k\geq 2$ e $g(z) = O(z)$. Então, existe uma vizinhança $V\subset U$ da origem e um mapa analítico $\varphi : V\rightarrow \mathbb{C}$ tal que $(\varphi(z))^{k}=\varphi(f(z))$.

O mapa $\varphi$ acima é chamado de mapa de Böttcher (ou Coordenada de Böttcher). Uma observação é que o mapa de Böttcher é único a menos de multiplicação por uma raíz $(k-1)$-ésima da unidade.

Demonstração: A filosofia novamente é construir uma sequencia de mapas que satisfazem a equação funcional de conjugação acima. Neste caso, somos tentados a definir a sequência $\varphi_{n}(z) := (f^{n}(z))^{1/k^{n}}$ para tomar seu limite. Porém, neste caso, não temos somente um problema de convergencia, mas também um problema de especificação da raíz $k-$ésima que estamos utilizando. Observe que podemos tornar a sequencia em um produto telescópico $$(f^{n}(z))^{1/k^{n}} = z\frac{f(z)^{1/k}}{z}\frac{f^{2}(z)^{1/k^{2}}}{f(z)^{1/k}}....\frac{f^{n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{n-1}(z)^{1/k^{n-1}}}$$ de modo que o termo geral do produto é da forma $$\frac{f^{n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = \frac{\Big((f^{n-1}(z)^{k})(1+g(f^{n-1}(z))\Big)^{1/k^{n}}}{f^{n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = (1+g(f^{n-1}(z)))^{1/k^{n}}$$ Deste modo, se conseguirmos provar que existe um $\rho > 0$ tal que quando $|z|\leq \rho$ obtemos $|g(f^{n-1}(z))| < 1$, podemos utilizar o ramo analítico principal da raiz em todos os termos do produto $\varphi_{n}(z) = \prod_{i=1}^{n}(1+g(f^{i-1}(z))^{1/k^{i}}$. Com efeito, escolha primeiro $\rho_{1}>0$ e uma constante $C$ tal que $|g(z)| < C|z|$, para todo $z\in D_{\rho_{1}}(0)$. Seja agora $\rho_{2}$ a raíz positiva da equação $x^{k-1}(1+Cx) = 1$, e ponha $\rho := min\{\rho_{1}, \rho_{2}, 1/2C\}$ de modo que se $|z| < \rho$, temos que $$|f(z)| = |z|^{k}|1+g(z)|\leq |z|^{k}(1+|g(z)| )\leq |z||z|^{k-1}(1+C\rho)\leq |z|$$ Assim, temos que para todo $n$, $|f^{n}(z)| \leq \rho$ e portanto $|g(f^{n-1}(z))|\leq C|f^{n-1}(z)|\leq C\rho\leq 1/2$. Logo, para todo $z\in D_{\rho}(0)$ o ramo principal analítico de $1+g(f^{n-1}(z))^{1/k^{n}}$ está bem definido para todos os valores de $n$. Observe que como o valor máximo de $|\log(1+w)|$ sempre que $|w|\leq 1/2$ é $\log 2$, então vale que $$\Big|\log|1+g(f^{n-1}(z))|^{1/k^{n}}\Big| = \frac{1}{k^{n}}|\log|1+g(f^{n-1}(z))|| \leq \frac{\log 2}{k^{n}}$$ e portanto o produtório $\varphi(z) := \prod_{n\geq 1}(1 + g(f^{n-1}(z)))^{1/k^n}$ converge e é o limite da sequencia $\varphi_n$, como queríamos.

Vamos agora tentar entender o domínio total do mapa de Böttcher para uma bacia super-atratora. Diferente do caso linearizável, o mapa de Böttcher não se estende a toda bacia de atração de um ponto fixo super-atrator, mas seu potencial associado, a chamada função de Green, sim.

Teorema(Funções de Green dinâmicamente definida): Seja $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ um polinômio e suponha que $f(0)=0$ e $f(z)=z^{k}(1+g(z))$, onde $k\geq 2$ e $g = \mathcal{O}(z)$ perto da origem. Seja $W$ a bacia de atração de $0$. Então a função $G(z) := \log|\varphi(z)|$, definida em vizinhança de $0$, se estende à toda bacia $W$, com pólos logarítmicos no subconjunto $Z\subset W$ de pontos $z$ tais que $f^{n}(z) = 0$, para algum $n$. Mais ainda, $G$ satisfaz à equação funcional $G(f(z)) = kG(z)$.

Demonstração: Note que $G$ está definida em uma vizinhança $V$ de $0$ e que, dado $z \in V$, vale $G(f(z)) = \log|\varphi(f(z))| = \log|\varphi(z)^k| =$ $kG(z)$. Dado agora $z \in W$, existe $n \geq 1$ tal que $f^n(z) \in V$ e portanto está bem definida $G(f^n(z)) = \log|\varphi(f^k(z))|$. Desta forma, podemos estender $G$ colocando $G(z) := G(f^n(z))/n$, e o fato de $G$ obedecer à equação funcional em $V$ nos garante que essa extensão está bem definida. Observe que a equação funcional segue diretamente dessa definição. Derivando a relação $G(f(z)) = kG(z)$, concluímos a afirmação sobre os pólos de $G$.

Note que a equação funcional implica que $G(z) < 0$ para todo $z \in W$: pois $f^n(z)\xrightarrow{} 0$ e portanto $G(f^n(z)) = k^nG(z)\xrightarrow{} -\infty$. Considere então, para todo $\rho \in (-\infty, 0)$, a componente conexa $W_{\rho}\subset W$ do conjunto $\{z\in W ; G(z) < \log{\rho}\}$ que contém $0$ e seja $\rho_{0}$ o supremo dos números $\rho$ tais que $W_{\rho}$ não contém ponto crítico diferente de $0$.

Proposição: A coordenada de bottcher $\varphi$ se estende a um isomorfismo analítico $\overline{\varphi}: W_{\rho_{0}}\rightarrow D_{e^{\rho_{0}}}$, onde $D_{e^{\rho_{0}}}$ é o disco de raio $e^{\rho_{0}}$ centrado na origem. Se $W$ não contém pontos críticos a não ser a origem (i.e. $rho_0 = 0$), então $\varphi$ é um biholomorfismo da bacia de atração imediata de $0$ ao disco unitário $\mathbb{D}$.

Demonstração: De fato, existe um $n$ suficientemente grande tal que $W_{\rho_{0}^{n}}$ esta contido no domínio de definição do mapa de Bottcher $\varphi$. Assim, queremos estender $\varphi$ sucessivamente aos conjuntos encaixados $W_{\rho_0^n} \subset W_{\rho_{0}^{n-1}}\subset W_{\rho_{0}^{n-2}}\subset ... \subset W_{\rho_{0}}$, e é suficiente provarmos o resultado para a primeira extensão (as outras são análogas). Observe que a restrição $f:W_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow W_{\rho_{0}^{n}}$ é um mapa de recobrimento com $k$ folhas ramificado na origem, uma vez que $W_{\rho_{0}^{n-1}}\cap \mathcal{C}_{f} = \{0\}$. Como $z\mapsto z^{k}$, como um mapa dos discos $D_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow D_{\rho_{0}^{n}}$, é também um recobrimento com $k$ folhas ramificado na origem, existem $k$ mapas distintos $g_{i}, i = 1, \dots, k$, que semi-conjugam $f$ com $z \mapsto z^{k}$, e tais mapas diferem apenas por pós-composição com $k-$ésima raíz da unidade. Um desses $g_{i}$ deve então coincidir com $\varphi$ em $W_{\rho_{0}^{n}}\subset W_{\rho_{0}^{n-1}}$, nos garantindo a extensão desejada.

Se $f$ tem ponto fixo em $z$ e seu multiplicador $\rho$ é da forma $e^{2i\pi\theta}$ com $\theta = p/q \in \mathbb{Q}$, dizemos que $z$ é ponto fixo racionalmente indiferente ou parabólico. Sem perda de generalidade, trabalharemos com o caso $z = 0$. Então podemos escrever $f(z) = \rho z(1 + bz^r + O(z^{r+1}))$; o número $r$ é chamado de multiplicidade parabólica do ponto fixo. Infelizmente, diferente dos casos atrator, super-atrator e repulsor, não temos uma forma canônica simples para $f$ (o melhor que podemos fazer no geral é conjugar $f$ com um mapa $z \mapsto \rho z(1 + bz^r + cz^{2r-1} + O(z^n))$ com $n$ arbitrariamente grande). Ainda assim, podemos entender a dinâmica de $f$ em torno de $0$. Para tanto, defina os eixos atratores de $f$ em $0$ como as direções $v$ (pensadas no espaço tangente) para as quais $bv^r \in (-\infty, 0)$, e os eixos repulsores como as direções para as quais $bv^r \in (0, \infty)$. Note que (ao considerarmos vetores normais) temos $r$ direções atratoras e $r$ direções repulsoras e todas elas juntas formam um conjunto de $2r$ pontos de $\mathbb{S}^1$ igualmente espaçados; sejam então $v_1, v_2, \dots, v_{2r}$ essas direções em ordem cíclica, onde os índices ímpares são atratores e os índices pares, repulsores (a única escolha que temos a fazer aqui é da direção $v_1$).

Teorema (Flor de Leau-Fatou): Seja $f(z) = z(1 + bz^r + O(z^{r+1))$ em vizinhança de $0$ e $v_1, \dots, v_{ 2r}$ as direções atratoras e repulsoras de $f$ em $0$. Então existem abertos $\mathcal{P}_1, \dots, \mathcal{P}_{2r}$ e biholomorfismos $\varphi_i: \mathcal{P}_i \to \mathbb{H}_r := \{\}$

Suponha agora que a origem é um ponto fixo para $f$ de período $k$ e cujo multiplicador é da forma $\rho = e^{2i\pi\frac{p}{q}}$, onde $p$ e $q$ são primos relativos. Assim, $f^{kq}$ é tangente à identidade em $0$, isto é $(f^{kq})'(0) = 1 $. Podemos então encontrar $2Q$ direções partindo da origem, metade delas atratoras e metade repulsoras, e vamos chamá-las de eixos atratores e eixos repulsores. Aqui, $Q$ é um múltiplo de $q$ com a seguinte propriedade fundamental: se $z\rightarrow 0$ ao longo de um eixo atrator (resp. repulsor), então $f^{kq}(z)\rightarrow 0$ (resp. $f^{-kq}(z)\rightarrow 0$). Estes eixos são determinados da seguinte maneira: escrevendo $f^{kq}$ em série , temos que $f^{kq}(z) = z(1+cz^{Q}+\mathcal{O}(z^{Q+1}))$, para algum $c\neq 0$, e $Q\geq 1$. Assim, os valores de $z$ para os quais a expressão $cz^{Q}$ é um número real negativo (resp. positivo) formam o eixo atrator (resp. eixo repulsor).

Corolário: A bacia imediata de um ciclo parabólico sempre contém um ponto crítico.

Corolário: $Q = \nu q$, $\nu \in \{1, \dots, d - 1\}$.

A derivada $z\mapsto \rho z$ age nos eixos dinâmicos, levando eixos repulsores em eixos repulsores, e eixos atratores em eixos atratores. Seja $L$ um eixo atrator; então existem pontos $z$ tais que $f^{kqn}(z)\rightarrow 0$ tangencialmente a $L$, e este conjunto de pontos, digamos $A_{L}$, é um aberto que contém $0$ em sua fronteira. Chamamos $A_{L}$ de bacia de atração de $0$ associada a $L$; a bacia imediada de um ponto fixo parabólico então é a união das componentes conexas de cada $A_L$, $L$ direção atratora, que têm $0$ em sua fronteira.

No caso irracionalmetne indiferente, a situação é bem mais delicada. Seja $f(0) = 0$ e $f'(0) = e^{2i\pi\theta}$, $\theta \notin \mathbb{Q}$. Vamos dizer que $0$ é ponto fixo: diofantino se $\theta$ é diofantino, i.e. um número irracional que satisfaz \[ \left| \theta- \frac{p}{q} \right| \geq C/q^{\nu} \] para constantes $C>0$ e $\nu \geq 2$ e qualquer número racional $p/q\in\mathbb{Q}$; linearizável ou de Siegel se existe um difeomorfismo $\varphi$ de uma vizinhança $V$ de $z$ em um disco tal que $\varphi\circ f^{n}\circ \varphi^{-1}$ é da forma $z\mapsto \rho z$. O maior domínio $V$ de linearização é chamado de disco de Siegel. Um resultado fundamental (e difícil) nesta ordem de ideias é o seguinte:

Teorema (Siegel-1942): Todo ponto periódico diofantino é linearizável.

Um ponto que é irracionalmente periódico que não é linerizável é dito Ponto de Cremer.