Vamos começar com algumas notações clássicas:

Seja $f: U \subseteq \overline{\mathbb{C}}\rightarrow U$ um mapa holomorfo. Um ponto periódico é um ponto $z\in \mathbb{C}$ tal que existe um $k>0$ para o qual vale que $f^k(z)=z$. O menor $k$ tal que vale essa propriedade é chamado de período de $z$. O ciclo de $z$ é o conjunto $\{z_{0},...,z_{k-1}\}$, onde $f^i(z)=z_{i}$ e o multiplicador desse ciclo é o número $\rho = (f^{k})'(z) = \prod f'(z_{i})$. Ainda, um ponto $z$ é dito pré-periódico se existe um inteiro $l$ tal que $f^{l}(z)$ é periódico.

Seja $U\subset\mathbb{C}$ uma vizinhança de um ponto $z_{0}$ fixo para um mapa analítico $f:U\rightarrow U$. Então, se $|z-z_{0}|$ for suficientemente pequeno, $f(z-z_{0})$ é aproximadamente $f'(z_{0})(z-z_{0})$, de modo que se $|f'(z_{0})| < 1$, então $|f(z-z_{0})|<|z-z_{0}|$; caso tenhamos $|f'(z_0)| > 1$, então vale $|f(z-z_{0})|>|z-z_{0}|$, de modo que podemos fazer a seguinte definição:

Um ciclo é dito atrator (resp. repulsor, indiferente) se $|\rho|<1$ (resp. $|\rho|>1$, $|\rho| = 1$). Um ponto periódico é dito super-atrator se $\rho = 0 $, ou seja, existe um ponto crítico no ciclo.

Veremos agora que o multiplicador de um ciclo periódico é o fator mais importante para determinar o comportamento local da dinâmica.

Se $z$ é um ponto periódico de período $k$, definimos a bacia de atração de $z$ como sendo o conjunto dos pontos $w$ tais que $f^{nk}(w)\rightarrow z$, quando $n\rightarrow \infty$. Chamamos de bacia imediata de atração a componente conexa da bacia de atração que contém o ponto periódico.

No que se segue vamos, sem perda, supor que o ponto fixo é sempre a origem.

Teorema (Koenigs, 1888): Seja $U$ uma vizinhança de $0$ e seja $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ um mapa holomorfo tal que $f(0)=0$ e que $0 < |f'(0)|< 1$. Então, existe uma vizinhança $V\subset U$ de $0$ com $f(V)\subset V$ e um biholomorfismo $\varphi: V\rightarrow \varphi(V)$ com $\varphi'(0)=1$ tal que $\varphi(f(z)) =\rho\varphi(z)$, onde $\rho = f'(0)$, para $z\in V$. O germe de $\varphi$ em $0$ é único.

Demonstração: Ponha $g(z) := f(z) -\lambda z$ e observe que existem $r_{1}>0$, um disco $D_{r_{1}}(0)\subset U$ e uma constante $C_{1}>0 $ tais que $|g(z)|\leq C_1|z|^2$, sempre que $|z|\leq r_{1}$. De fato, escrevendo a série de Taylor de $f$ ao redor da origem, temos que $f(z)= \lambda z + O(z^{2})$ de modo que $g(z) = O(z^2)$. Escolhendo agora uma constante $C_{2}$ tal que $C_{2}^{2} < |\lambda|< C_{2} < 1$ e pondo \[ r:= \min\left\{ 1, r_{1}, \frac{C_{2}-|\lambda|}{C_{1}} \right\}, \] teremos que para todo $|z|< r$, vale $|f(z)|\leq |\lambda z| + C_{1}|z|^{2}\leq (|\lambda|+C_{1}r)|z| \leq C_{2}|z|$. Ao iterarmos, obtemos que $|f^{n}(z)|\leq C_{2}^{n}$. Ponha agora $V:=\{z\in\mathbb{C} ; |z| < r\}$ e considere a sequência de mapas analíticos $\varphi_{n}: V \rightarrow \mathbb{C}$ dados por $\varphi_{n}(z) = f^{n}(z)/\lambda^{n}$. Afirmamos que tal sequência converge uniformemente em $V$. Com efeito, \[ \begin{array}{rl} |\varphi_{n+1} - \varphi_{n}| & = \Big| \frac{f^{n+1}(z)}{\lambda^{n+1}} - \frac{f^{n}(z)}{\lambda^{n}}\Big| = \frac{1}{|\lambda|^{n}}\Big|\frac{f(f^{n}(z))}{\lambda} - f^{n}(z) \Big| \\ & = \frac{1}{|\lambda|^{n}}\Big|\frac{f(f^{n}(z)) - \lambda f^{n}(z)}{\lambda}\Big| = \frac{1}{|\lambda|^{n+1}}|g(f^{n}(z))| \\ & \leq \frac{C_{1}|f^{n}(z)|}{{|\lambda|^{n+1}}} \leq \frac{C_{1}}{|\lambda|}\Big(\frac{C_{2}^{2}|z|}{|\lambda|}\Big)^{n} \end{array} \] Uma vez que temos $\frac{C_{2}^{2}|z|}{|\lambda|} < r < 1$, isto nos mostra que a sequencia de mapas acima é uniformemente de Cauchy, e portanto converge uniformemente em $V$. Defina agora $\varphi(z) := \lim_{n\rightarrow \infty}\varphi_{n}(z)$. Observe que $\varphi'(0) = 1$, uma vez que $\varphi(z) = z + O(z)$. Assim, o mapa $\varphi$ resolve a nossa equação funcional do enunciado, pois $$\varphi(f(z)) = \lim_{n\rightarrow \infty}\varphi_{n}(f(z)) = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{\circ n}(f(z))}{\lambda^{n}} = \lambda\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{\circ n+1}(z)}{\lambda^{n+1}} = \lambda \varphi(z)$$ Ou seja, $\varphi(f(z)) = \lambda \varphi(z)$, como queríamos. Resta mostrarmos a unicidade do mapa $\varphi$. Com efeito, seja $\psi: W\rightarrow \psi(W)$ um mapa biholomorfo que conjuga a nossa aplicação $f$. Se denotarmos por $M_{\lambda}$ a multiplicação por $\lambda$, tem-se então que $$M_{\lambda}\circ \psi \circ \varphi^{-1}(z) = \psi \circ f \circ \varphi^{-1}(z) = \psi \circ \varphi^{-1} \circ M_{\lambda}(z)$$ Como estamos trabalhando com germes analíticos, as funções envolvidas possuem inversas funcionais; isto implica que a composição $\psi \circ \varphi^{-1}$ comuta com a multiplicação por $\lambda$, impondo que $\psi'(0)=1$. Segue que $\varphi =\psi$.

Obs: O caso repulsor segue imediatamente aplicando o mesmo argumento ao mapa $f^{-1}$, o qual esta bem definido em uma vizinhança da origem, cujo multiplicador satisfaz $0<|\rho^{-1}|<1$.

Dado o teorema acima, podemos (e queremos) determinar os domínios para o mapa $\varphi$ acima, isto é, podemos obter o maior aberto conexo em que haja a conjugação.

Teorema: Seja $z_{0}$ um ponto fixo atrator para um polinômio $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ e seja $U$ a sua bacia de atração. Então, a sequencia $\{\varphi_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ dada por \[ \varphi_{n}(z) := \frac{f^{n}(z) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}}\] converge uniformemente em compactos de $U$ e o seu limite é um mapa $\varphi:U\rightarrow\mathbb{C}$ que satisfaz $\varphi(f(z)) = f'(z_{0})\varphi(z)$.

Demonstração: Já sabemos que a sequencia $\{\varphi_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ é uma sequencia que converge uniformemente em uma vizinhança $V$ de $z_{0}$, uma vez que a sequencia é a mesma da prova anterior, trocando apenas o ponto fixo. Seja $K\subset U$ um subconjunto compacto. Então existe um inteiro $m$ tal que $f^{m}(K)\subset V$, e portanto para todo $z\in K$ tem-se que $$\lim_{n\to\infty}\frac{f^{n}(z) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{f^{\circ n}(f^{\circ m}(z)) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n+m}} = \frac{1}{f'(z_{0})^{m}}\lim_{n\to\infty}\frac{f^{\circ n}(f^{\circ m}(z)) - z_{0}}{f'(z_{0})^{n}} = \frac{1}{f'(z_{0})^{m}}\varphi(f^{\circ m}(z))$$ Logo, a convergencia é uniforme em compactos. A equação funcional segue trivialmente.

Assim, provamos que a conjugação no caso atrator se estende a toda bácia de atração. No caso repulsor, o teorema de linearização global é um pouco diferente, tendo em vista que não existe um conceito como “bacia repulsora”.

Uma filosofia que se observa desde o inicio da teoria, nos trabalhos de Fatou por exemplo, é que os pontos críticos determinam de maneira importante o comportamento dinâmico dos polinômios. O próximo resultado também nos mostra como críticos se comportam perto de pontos atratores.

Proposição:(Fatou-Julia) A bacia imediata de qualquer ciclo atrator contém pelo menos um ponto crítico.

A ideia é que, se não tivéssemos ponto crítico na bacia imediata de atração, poderíamos estender a inversa do mapa $\varphi$ do teorema anterior a todo o plano, o que culminaria em uma conjugção entre um mapa de grau $d$ e um mapa de grau $1$, concluindo um absurdo.

Nesta seção, iremos observar que a dinâmica de um polinômio em torno de um ponto super-atrator é, embora mais complicada que no caso atrator, ainda razoavelmente simples.

Teorema (Böttcher, 1904): Seja $f(z) = z^{k}(1+g(z))$ um mapa analítico definido em uma vizinhança $U\subset\mathbb{C}$ da origem, com $k\geq 2$ e $g(z) = O(z)$. Então, existe uma vizinhança $V\subset U$ da origem e um mapa analítico $\varphi : V\rightarrow \mathbb{C}$ tal que $(\varphi(z))^{k}=\varphi(f(z))$.

O mapa $\varphi$ acima é chamado de mapa de Böttcher (ou Coordenada de Böttcher). Uma observação é que o mapa de Böttcher é único a menos de multiplicação por uma raíz $(k-1)$-ésima da unidade.

Demonstração: A filosofia novamente é construir uma sequencia de mapas que satisfazem a equação funcional de conjugação acima. Neste caso, somos tentados a definir a seguinte sequencia $\varphi_{n}(z) := (f^{\circ n}(z))^{1/k^{n}}$ e provemos que a mesma converge uniformemente à um limite holomorfo $\varphi$. Porém, neste caso, não temos somente um problema de convergencia, mas também um problema de especificação raíz $k-$ésima que estamos utilizando. Observe que podemos tornar a sequencia em um produto telescópico: $$f^{\circ n}(z))^{1/k^{n}} = z\frac{f(z)^{1/k}}{z}\frac{f^{\circ 2}(z)^{1/k^{2}}}{f(z)^{1/k}}....\frac{f^{\circ n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{\circ n-1}(z)^{1/k^{n-1}}}$$ De modo que o termo geral do produto é da forma $\frac{f^{\circ n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{\circ n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = \frac{\Big((f^{\circ n-1}(z)^{k})(1+g(f^{\circ n-1}(z))\Big)^{1/k^{n}}}{f^{\circ n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = \frac{f^{\circ n}(z)^{1/k^{n}}}{f^{\circ n-1}(z)^{1/k^{n-1}}} = (1+g(f^{\circ n-1}(z))^{1/k^{n}}$, deste modo, se conseguirmos provar que existe um $\rho > 0$ tal que quando $|z|\leq \rho$ obtivermos $|g(f^{\circ n-1}(z))| < 1$, podemos utilizar o ramo analítico principal da raiz em todos os termos do produto $\varphi_{n}(z) = \prod_{i=1}^{n}(1+g(f^{\circ i-1}(z))^{1/k^{i}}$ e livrarmos da indeterminação raíz. Com efeito, escolha primeiro $\rho_{1}>0$ e uma constante $C$ tal que $|g(z)| < C|z|$, para todo $z\in D_{\rho_{1}}(0)$. Seja agora $\rho_{2}$ a raíz positiva da equação $x^{k-1}(1+Cx) = 1$, e ponha $\rho := min\{\rho_{1}, \rho_{2}, 1/2C\}$ de modo que se $|z| < \rho$, temos que $$|f(z)| = |z|^{k}|1+g(z)|\leq |z|^{k}(1+|g(z)| )\leq |z||z|^{k-1}(1+C\rho)\leq |z|$$ Assim, temos que para todo $n$ $|f^{\circ n}(z)| \leq \rho$ e portanto $|g(f^{\circ n-1}(z))|\leq C|f^{\circ n-1}(z)|\leq C\rho\leq 1/2$. Logo, para todo $z\in D_{\rho}(0)$ o ramo principal analítico de $1+g(f^{\circ n-1}(z))^{1/k^{n}}$ está bem definido para todos os valores de $n$. Observe que como o valor máximo de $|ln(1+w)|$ sempre que $|w|\leq 1/2$ é $ln2$, então vale que $$\Big|ln|1+g(f^{\circ n-1}(z))^{1/k^{n}}|\Big| = \frac{1}{k^{n}}|ln|1+g(f^{\circ n-1}(z))|\leq \frac{ln2}{k^{n}}$$ e portanto o termo geral do produto converge, logo a sequencia converge uniformemente, como queríamos.

Vamos agora tentar entender o domínio total do mapa de Boetcher para uma bacia super-atratora, porém isto só faz sentido se $f$ não for um germe analítico. Diferente do caso linearizável, o mapa de Boetcher não se extende a toda bacia de atração de um ponto fixo super-atrator. Por outro lado, se assumirmos que o valor $-\infty$ possa ser tomado, podemos definir algo semelhante, as chamadas funções de Green.

Teorema(Funções de Green dinâmicamente definida): Seja $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ um polinômio e suponha que $f(0)=0$ e $f(z)=z^{k}(1+g(z))$, onde $k\geq 2$, onde $g\in \mathcal{O}(z)$ perto da origem. Seja $W$ a bacia de atração de $0$. Então, a sequencia de funções $n\mapsto G_{n}:W\rightarrow [-\infty,\infty)$ definida por $G_{n}(z) = \frac{1}{k^{n}}\ln|f^{\circ n}(z)|$ converge uniformemente em subconjuntos compactos de $W$, com pólos logaritmicos em um subconjunto $Z\subset W$ de pontos $z$ tais que $f^{\circ n}(z) = 0$, para algum $n$. Mais ainda, o limite $G:= \lim_{n\to \infty}G_{n}$ satisfaz a equação funcional $G(f(z)) = kG(z)$.

Demonstração: Seja $V$ uma vizinhança tomada como no teorema de Bottcher acima, e considere as funções $\varphi_{n}$ dada por $\varphi_{n}(z) = (f^{\circ n}(z))^{1/k^{n}}$. Desta forma, no domínio de $\varphi_{n}$, temos que $G_{n}(z) = \frac{1}{k^{n}}\ln{|f^{\circ n}(z)|} = \ln{|\varphi_{n}(z)|}$. Assim, em qualquer compacto $K\subset W$ tal que $f^{\circ n}(K)\subset V$, temos então que $G_{n}(z) = \frac{1}{k^{m}}\ln{|\varphi_{n}(f^{\circ m}(z))|}$. Tomando o limite quando $n$ tende ao infinito, segue-se que a sequencia $n\mapsto G_{n}$ converge uniformemente em $K$. Observe que a equação funcional segue uma vez que $\varphi(f(z)) = \varphi(z)^{k}$, bastando tomar logarítmos em ambos os lados.

Considere agora , para todo $\rho\in (0,1]$ a componente conexa $W_{\rho}\subset W$ do conjunto $\{z\in W ; G(z) < \ln{\rho}\}$ que contém $0$ e seja $\rho_{0}$ o supremo dos números $\rho$ tais que a componente $W_{\rho_{0}}$ contém apenas o crítico $0$.

Proposição: A coordenada de bottcher $\varphi$ se extende a um isomorfismo analítico $\overline{\varphi}:W_{\rho_{0}}\rightarrow D_{e^{\rho_{0}}}$, onde $D_{e^{\rho_{0}}}$ é o disco de raio $e^{\rho_{0}}$. Se $W$ não contém pontos críticos a não ser a origem, então $\varphi$ é um biholomorfismo da bacia imediata de $0$ ao disco unitário $\mathbb{D}$.

Demonstração: De fato, existe um $n$ suficientemente grande tal que $W_{\rho_{0}^{n}}$ esta contido no domínio de definição do mapa de Bottcher $\varphi$. Assim, extendendo sucessivamente $W_{\rho_{0}^{n-1}}\subset W_{\rho_{0}^{n-2}}\subset ... \subset W_{\rho_{0}}$, é suficiente provarmos o resultado para a primeira extensão. Observe que a restrição $f:W_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow W_{\rho_{0}^{n}}$ é um mapa de recobrimento com $k$ folhas na origem, uma vez que $W_{\rho_{0}^{n-1}}\cap \mathcal{C}_{f} = \emptyset$, e como $z\mapsto z^{k}$, como um mapa dos discos $D_{\rho_{0}^{n-1}}\rightarrow D_{\rho_{0}^{n}}$ é também um recobrimento ramificado somente na origem. Assim, existem $k$ mapas diferentes $g_{i}$ que semi-conjuga $f$ e $z^{k}$ com $\varphi$, e tais mapas diferem por pós-composição com a $k-$ésima raíz da unidade. Um desses $g_{i}$ coincidem com $\varphi$ em $W_{\rho_{0}^{n}}\subset W_{\rho_{0}^{n-1}}$, nos garantindo a extensão desejada.

Se um ponto periódico $z$ é indiferente, o seu multiplicador $\rho$ é da forma $e^{2i\pi\theta}$. Dizemos que $z$ é: racionalmente periódico (ou parabólico) se $\theta$ é racional; irracionalmente periódico se $\theta$ é irracional

Suponha agora que a origem é um ponto fixo para $f$ de período $k$ e cujo multiplicador é da forma $\rho = e^{2i\pi\frac{p}{q}}$, onde $p$ e $q$ são primos relativos. Assim, $f^{kq}$ é tangente a identidade em $0$, isto é $(f^{kq})'(0) = 1 $. Podemos então encontrar $Q$ semi-retas partindo da origem chamados de eixos atratores, e alternativamente também podemos encontrar $Q$ semi-retas chamadas de eixos repulsores, onde $Q$ é um múltiplo de $q$ com a seguinte propriedade fundamental:Se $z\rightarrow 0$ ao longo de um eixo atrator(repulsor), então $f^{kq}(z)\rightarrow 0$ ($f^{kq}(z)$ tende para longe de $0$). Estes eixos são determinados da seguinte maneira: Escrevendo $f^{kq}$ em série , temos que $f^{kq}(z) = z(1+cz^{Q}+\mathcal{O}(z^{Q+1})$, para algum $c\neq 0$, e $Q\geq 1$. Assim, os valores para os quais a expressão $cz^{Q}$ é um número real negativo (resp. positivo) formam o eixo atrator (resp. eixo repulsor).

A derivada $z\mapsto \rho.z$ age nos eixos dinâmicos, levando eixos repulsores em eixos repulsores, e eixos atratores em eixos atratores. Seja $L$ um eixo atrator. Então, existem pontos $z$ tais que $f^{kqn}(z)\rightarrow 0$ tangencialmente a $L$, e este conjunto de pontos, digamos $A_{L}$, formam um subconjunto aberto que contém um segmento $L$ com uma extremidade em $0$. $A_{L}$ é a bácia de atração de $L$, e bácia imediata de $L$ a componente conexa que contém a origem.

Teorema (Fatou-Julia): A bacia imediata de um ciclo parabólico sempre contém um ponto crítico.

diofantino se $\theta$ é diofantino, i.e. um número irracional que satisfaz \[ \left| \theta- \frac{p}{q} \right| \geq C/q^{\nu} \] para constantes $C>0$ e $\nu \geq 2$ e qualquer número racional $p/q\in\mathbb{Q}$. Dizemos ainda que $z$ é linearizável ou de Siegel se existe um difeomorfismo $\varphi$ de uma vizinhança $V$ de $z$ em um disco tal que $\varphi\circ f^{n}\circ \varphi^{-1}$ é da forma $z\mapsto \rho z$. O maior domínio $V$ de linearização é chamado de disco de Siegel. Um resultado fundamental (e difícil) nesta ordem de ideias é o seguinte:

Teorema (Siegel-1942): Todo ponto periódico diofantino é linearizável.

Um ponto que é irracionalmente periódico que não é linerizável é dito Ponto de Cremer.